Как можно определить радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника, если известно, что его основание в 2 раза меньше боковой стороны, а радиус описанной окружности составляет 8 см? Нужно ли в этом случае применять формулу Герона для вычисления сторон треугольника?

Геометрия 8 класс Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник основание меньше боковой стороны радиус описанной окружности формула Герона вычисление сторон треугольника Новый

Чтобы определить радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника, нам нужно использовать некоторые свойства треугольника и формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей.

Давайте обозначим:

• основание треугольника - a;
• боковую сторону треугольника - b;
• радиус описанной окружности - R;
• радиус вписанной окружности - r.

По условию задачи, основание треугольника в 2 раза меньше боковой стороны, то есть:

a = b / 2.

Также известно, что радиус описанной окружности R равен 8 см. В равнобедренном треугольнике радиус описанной окружности можно выразить через стороны треугольника по формуле:

R = (abc) / (4S),

где S - площадь треугольника, а a, b, c - стороны треугольника. В нашем случае, так как треугольник равнобедренный, у нас будет:

• a = b / 2,
• c = b.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса описанной окружности:

R = (a b c) / (4S) = (a b b) / (4S) = (a * b^2) / (4S).

Теперь нам нужно найти площадь S. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу через основание и высоту:

S = (1/2) a h,

где h - высота треугольника. Высоту h можно найти через боковую сторону b и половину основания a:

h = sqrt(b^2 - (a/2)^2).

Теперь подставим a в выражение для h:

h = sqrt(b^2 - (b/4)^2) = sqrt(b^2 - b^2/16) = sqrt((16b^2 - b^2) / 16) = sqrt(15b^2 / 16) = (b * sqrt(15)) / 4.

Теперь подставим h в формулу для площади S:

S = (1/2) (b / 2) (b sqrt(15) / 4) = (b^2 sqrt(15)) / 16.

Теперь мы можем подставить S в формулу для R и решить уравнение:

8 = (a b^2) / (4 S) = (b/2 b^2) / (4 (b^2 * sqrt(15)) / 16).

Упрощаем уравнение:

8 = (b^3 / 2) / (b^2 sqrt(15) / 4) = (4b^3) / (2b^2 sqrt(15)) = (2b) / sqrt(15).

Теперь, чтобы найти b, умножим обе стороны на sqrt(15):

8 * sqrt(15) = 2b.

Следовательно:

b = 4 * sqrt(15).

Теперь подставим b в выражение для a:

a = b / 2 = 2 * sqrt(15).

Теперь у нас есть все стороны треугольника. Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности r. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = S / p,

где p - полупериметр треугольника.

Полупериметр p равен:

p = (a + b + c) / 2 = (2 sqrt(15) + 4 sqrt(15) + 4 sqrt(15)) / 2 = (10 sqrt(15)) / 2 = 5 * sqrt(15).

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

S = (b^2 sqrt(15)) / 16 = (16 15) / 16 = 15.

Теперь подставим S и p в формулу для r:

r = S / p = 15 / (5 * sqrt(15)).

Упрощаем:

r = 3 / sqrt(15) = (3 * sqrt(15)) / 15 = sqrt(15) / 5.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен sqrt(15) / 5 см.

Итак, мы не использовали формулу Герона, так как смогли найти стороны треугольника и площадь, используя другие методы. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решить задачу!