Чтобы определить радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника, нам нужно использовать некоторые свойства треугольника и формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей.

Давайте обозначим:

• основание треугольника - a;
• боковую сторону треугольника - b;
• радиус описанной окружности - R;
• радиус вписанной окружности - r.

По условию задачи, основание треугольника в 2 раза меньше боковой стороны, то есть:

a = b / 2.

Также известно, что радиус описанной окружности R равен 8 см. В равнобедренном треугольнике радиус описанной окружности можно выразить через стороны треугольника по формуле:

R = (abc) / (4S),где S - площадь треугольника, а a, b, c - стороны треугольника. В нашем случае, так как треугольник равнобедренный, у нас будет:

• a = b / 2,
• c = b.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса описанной окружности:

R = (a * b * c) / (4S) = (a * b * b) / (4S) = (a * b^2) / (4S).

Теперь нам нужно найти площадь S. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу через основание и высоту:

S = (1/2) * a * h,где h - высота треугольника. Высоту h можно найти через боковую сторону b и половину основания a:

h = sqrt(b^2 - (a/2)^2).

Теперь подставим a в выражение для h:

h = sqrt(b^2 - (b/4)^2) = sqrt(b^2 - b^2/16) = sqrt((16b^2 - b^2) / 16) = sqrt(15b^2 / 16) = (b * sqrt(15)) / 4.

Теперь подставим h в формулу для площади S:

S = (1/2) * (b / 2) * (b * sqrt(15) / 4) = (b^2 * sqrt(15)) / 16.

Теперь мы можем подставить S в формулу для R и решить уравнение:

8 = (a * b^2) / (4 * S) = (b/2 * b^2) / (4 * (b^2 * sqrt(15)) / 16).

Упрощаем уравнение:

8 = (b^3 / 2) / (b^2 * sqrt(15) / 4) = (4b^3) / (2b^2 * sqrt(15)) = (2b) / sqrt(15).

Теперь, чтобы найти b, умножим обе стороны на sqrt(15):

8 * sqrt(15) = 2b.

Следовательно:

b = 4 * sqrt(15).

Теперь подставим b в выражение для a:

a = b / 2 = 2 * sqrt(15).

Теперь у нас есть все стороны треугольника. Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности r. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = S / p,где p - полупериметр треугольника.

Полупериметр p равен:

p = (a + b + c) / 2 = (2 * sqrt(15) + 4 * sqrt(15) + 4 * sqrt(15)) / 2 = (10 * sqrt(15)) / 2 = 5 * sqrt(15).

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

S = (b^2 * sqrt(15)) / 16 = (16 * 15) / 16 = 15.

Теперь подставим S и p в формулу для r:

r = S / p = 15 / (5 * sqrt(15)).

Упрощаем:

r = 3 / sqrt(15) = (3 * sqrt(15)) / 15 = sqrt(15) / 5.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен sqrt(15) / 5 см.

Итак, мы не использовали формулу Герона, так как смогли найти стороны треугольника и площадь, используя другие методы. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решить задачу!