Как можно вычислить площадь треугольника BCD, если основание AB трапеции ABCD равно 12 см, диагональ BD составляет 6 см, угол ADB равен углу BCD, а площадь трапеции равна 40 см²?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника и трапеции площадь треугольника BCD основание AB трапеции диагональ BD угол ADB площадь трапеции ABCD задачи по геометрии вычисление площади треугольника Новый

Чтобы вычислить площадь треугольника BCD, давайте сначала разберемся с данными, которые у нас есть:

• Основание AB трапеции ABCD равно 12 см.
• Диагональ BD составляет 6 см.
• Угол ADB равен углу BCD.
• Площадь трапеции ABCD равна 40 см².

Сначала мы можем использовать формулу для вычисления площади трапеции, которая выглядит так:

Площадь = (a + b) * h / 2

где a и b — это длины оснований трапеции, а h — высота. В нашем случае одно основание (AB) равно 12 см, а другое основание (CD) мы пока не знаем.

Площадь трапеции ABCD равна 40 см², поэтому можем записать уравнение:

(12 + CD) * h / 2 = 40

Умножим обе стороны на 2:

(12 + CD) * h = 80

Теперь мы можем выразить h:

h = 80 / (12 + CD)

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCD. Мы знаем, что угол ADB равен углу BCD, что значит, что треугольники ABD и BCD подобны. Это свойство позволит нам использовать пропорции.

Поскольку BD является диагональю и равен 6 см, мы можем рассмотреть соотношение между сторонами треугольников:

Из подобия треугольников у нас есть:

AB / BD = CD / h

Подставим известные значения:

12 / 6 = CD / h

Упростим это уравнение:

2 = CD / h

Отсюда мы можем выразить CD:

CD = 2h

Теперь подставим это значение CD в уравнение для высоты:

h = 80 / (12 + 2h)

Умножим обе стороны на (12 + 2h):

h * (12 + 2h) = 80

Раскроем скобки:

12h + 2h² = 80

Переносим все в одну сторону:

2h² + 12h - 80 = 0

Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 12² - 4 * 2 * (-80)

D = 144 + 640 = 784

Теперь находим корни уравнения:

h = (-b ± √D) / 2a

h = (-12 ± √784) / 4

h = (-12 ± 28) / 4

Таким образом, у нас есть два значения для h:

• h1 = 4 см
• h2 = -10 см (отрицательное значение не подходит)

Теперь подставим h = 4 см в уравнение для CD:

CD = 2 * 4 = 8 см

Теперь мы можем найти площадь треугольника BCD. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2

В нашем случае основание CD = 8 см, а высота равна h = 4 см:

Площадь BCD = (8 * 4) / 2 = 32 / 2 = 16 см²

Таким образом, площадь треугольника BCD составляет 16 см².