Каковы длины сторон треугольника, если средние линии имеют соотношение 3:2:4, а общая длина периметра треугольника равна 45 см?

Геометрия 8 класс Средние линии треугольника длина сторон треугольника средние линии треугольника периметр треугольника Соотношение сторон треугольника задачи по геометрии 8 класс Новый

Чтобы найти длины сторон треугольника, зная соотношение средних линий и периметр, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определим соотношение средних линий:

   Пусть длины средних линий треугольника равны 3x, 2x и 4x соответственно, где x - это некая общая единица измерения.

2. Вспомним, что средние линии треугольника:

   Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны. Таким образом, если обозначить стороны треугольника как a, b и c, то:

   • Средняя линия, соответствующая стороне a, будет равна (b + c)/2 = 3x;
   • Средняя линия, соответствующая стороне b, будет равна (a + c)/2 = 2x;
   • Средняя линия, соответствующая стороне c, будет равна (a + b)/2 = 4x.
3. Запишем уравнения для сторон:

   Из вышеуказанных равенств мы можем выразить стороны a, b и c:

   • b + c = 6x;
   • a + c = 4x;
   • a + b = 8x.
4. Сложим все три уравнения:

   (b + c) + (a + c) + (a + b) = 6x + 4x + 8x = 18x.

   Это можно упростить до: 2a + 2b + 2c = 18x, или a + b + c = 9x.

5. Используем известный периметр:

   Мы знаем, что периметр треугольника равен 45 см. Таким образом, мы можем записать:

   9x = 45 см.

   Отсюда находим x:

   x = 5 см.

6. Теперь найдем длины сторон:

   Подставим значение x в уравнения для сторон:

   • Сначала найдем a: из уравнения a + b = 8x получаем a + b = 8 * 5 = 40 см.
   • Теперь из a + c = 4x получаем a + c = 4 * 5 = 20 см.
   • И из b + c = 6x получаем b + c = 6 * 5 = 30 см.
7. Решим систему уравнений:

   Теперь у нас есть система уравнений:

   • a + b = 40;
   • a + c = 20;
   • b + c = 30.

   Решим эту систему:

   • Из первого уравнения выразим b: b = 40 - a.
   • Подставим b в третье уравнение: (40 - a) + c = 30, откуда c = 30 - (40 - a) = a - 10.
   • Теперь подставим c в второе уравнение: a + (a - 10) = 20, откуда 2a - 10 = 20, значит 2a = 30, a = 15.
   • Теперь найдем b и c: b = 40 - 15 = 25 и c = 15 - 10 = 5.

Итак, длины сторон треугольника:

• a = 15 см;
• b = 25 см;
• c = 5 см.