Каковы свойства вписанного угла? Пожалуйста, сформулируйте и докажите их.

Геометрия 8 класс Вписанный угол свойства вписанного угла доказательство вписанного угла геометрия углов вписанный угол в круге теоремы о вписанных углах Новый

Вписанный угол – это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны угла – это хорды этой окружности. У вписанного угла есть несколько важных свойств, которые мы сейчас рассмотрим.

Свойства вписанного угла:

• Свойство 1: Вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу, равен другому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
• Свойство 2: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Свойство 3: Если вписанный угол опирается на диаметр, то он равен 90 градусам.

Теперь давайте подробно рассмотрим доказательства этих свойств.

Доказательство свойства 1:

Рассмотрим два вписанных угла A и B, которые опираются на одну и ту же дугу AC окружности. Углы A и B имеют общую сторону, которая является хордой AB. По определению вписанного угла, угол A равен половине центрального угла OAC, а угол B равен половине центрального угла OBC. Поскольку дуги AC и BC равны, то углы OAC и OBC также равны. Следовательно, углы A и B равны.

Доказательство свойства 2:

Рассмотрим вписанный угол A и центральный угол O, который опирается на ту же дугу AC. Угол A равен половине угла O, так как угол O включает в себя два радиуса OA и OC, а угол A включает в себя только хорду AC. Таким образом, мы получаем, что вписанный угол A равен половине центрального угла O.

Доказательство свойства 3:

Если вписанный угол опирается на диаметр, то он будет равен 90 градусам. Рассмотрим круг, в который вписан треугольник ABC, где AB – это диаметр. Центр окружности O находится на середине отрезка AB. Угол ACB – это вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Поскольку радиусы OA и OB перпендикулярны диаметру AB, угол ACB будет равен 90 градусам по свойству прямоугольного треугольника.

Таким образом, мы рассмотрели три основных свойства вписанного угла и доказали их. Эти свойства являются важными для решения задач по геометрии и помогают лучше понять взаимосвязи между углами и дугами окружности.