Какой меньший угол ромба, если высота, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам, а меньшая диагональ равна 16 см?

Геометрия 8 класс Ромбы и их свойства угол ромба высота ромба меньшая диагональ геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые мы имеем:

• Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны.
• У ромба есть две диагонали, которые пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре равных треугольника.
• Меньшая диагональ равна 16 см.
• Высота, проведённая из тупого угла, делит сторону ромба пополам.

Обозначим:

• ABCD — ромб, где углы A и C — тупые, а углы B и D — острые.
• AC — меньшая диагональ (равна 16 см).
• BD — большая диагональ, которую мы пока не знаем.
• h — высота, проведённая из вершины A (или C) к стороне BC.
• Сторона ромба обозначим как a.

Так как высота из тупого угла делит сторону пополам, то отрезок, на который она делит сторону, равен a/2.

Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ABD:

• AB = a (сторона ромба),
• AD = h (высота),
• BD/2 = a/2 (половина стороны ромба).

По теореме Пифагора имеем:

h² + (a/2)² = a².

Теперь выразим h:

h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = (4a² - a²)/4 = 3a²/4.

Следовательно, h = √(3a²/4) = (a√3)/2.

Теперь найдем длину большей диагонали BD. Мы знаем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Таким образом, можно записать:

(AC/2)² + (BD/2)² = a².

Подставим известные значения:

(16/2)² + (BD/2)² = a².

(8)² + (BD/2)² = a².

64 + (BD/2)² = a².

Теперь подставим значение h, чтобы найти a:

64 + (a√3/4)² = a².

64 + (3a²/16) = a².

Умножим все на 16, чтобы избавиться от дробей:

1024 + 3a² = 16a².

Теперь соберем все в одну сторону:

16a² - 3a² - 1024 = 0.

13a² - 1024 = 0.

13a² = 1024.

a² = 1024/13.

a = √(1024/13).

Теперь, зная длину стороны ромба, мы можем найти угол. Углы в ромбе могут быть найдены с помощью тангенса угла, используя отношение высоты к половине стороны:

tg(угол) = h / (a/2) = (a√3/2) / (a/2) = √3.

Таким образом, угол равен 60 градусов. Поскольку это острый угол, меньший угол ромба равен 60 градусам.

Ответ: Меньший угол ромба равен 60 градусов.