Какой угол при вершине C треугольника ABC, если угол между биссектрисами AD и BD в пять раз больше угла при вершине C?

Геометрия 8 класс Биссектрисы треугольника угол при вершине C треугольник ABC биссектрисы AD и BD угол между биссектрисами геометрия 8 класс Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим угол при вершине C как α. По условию задачи угол между биссектрисами AD и BD равен 5α.

Теперь рассмотрим некоторые свойства биссектрис. Биссектрисы углов треугольника делят угол пополам. Таким образом, угол ADB, который образуется между биссектрисами AD и BD, можно выразить через углы треугольника ABC:

• Угол ADB равен (180° - α)/2, так как он является внешним углом для треугольника ABD.
• Также угол ADB равен (180° - (A + B))/2, где A и B - углы при вершинах A и B соответственно.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому A + B = 180° - α. Подставим это в выражение для угла ADB:

• Угол ADB = (180° - (180° - α))/2 = α/2.

Теперь мы знаем, что угол между биссектрисами AD и BD равен 5α, и мы уже выразили угол ADB как α/2. Таким образом, у нас есть следующее равенство:

5α = α/2.

Теперь давайте решим это уравнение:

• Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
• 10α = α.
• Теперь перенесем α на одну сторону уравнения:
• 10α - α = 0.
• 9α = 0.

Это уравнение имеет решение α = 0. Однако, в контексте геометрии треугольника, угол не может быть равен нулю. Это означает, что мы сделали ошибку, и нам нужно пересмотреть наши шаги.

Обратим внимание на то, что угол между биссектрисами AD и BD не равен α/2, а равен 90° - (α/2). Таким образом, правильное уравнение должно выглядеть так:

90° - (α/2) = 5α.

Теперь решим это уравнение:

• 90° = 5α + (α/2).
• 90° = (10α + α)/2.
• 90° = 11α/2.
• Умножим обе стороны на 2: 180° = 11α.
• Теперь найдем α: α = 180° / 11.

Таким образом, угол при вершине C треугольника ABC равен 180° / 11.