Площадь прямоугольного треугольника составляет 24 см², а радиус вписанной окружности равен 2 см. Какой радиус окружности, которая описана вокруг этого треугольника?

Геометрия 8 класс Окружности, вписанные и описанные вокруг треугольника площадь прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности радиус описанной окружности геометрия 8 класс задачи по геометрии треугольники формулы для треугольников Новый

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника, радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности.

Давайте вспомним основные формулы:

• Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: S = (a * b) / 2, где a и b - катеты треугольника.
• Радиус вписанной окружности (r) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: r = (a + b - c) / 2, где c - гипотенуза.
• Радиус описанной окружности (R) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: R = c / 2.

Из условия задачи мы знаем, что площадь S = 24 см² и радиус вписанной окружности r = 2 см.

Сначала мы можем использовать радиус вписанной окружности, чтобы найти сумму катетов:

1. Запишем уравнение для радиуса вписанной окружности: 2 = (a + b - c) / 2.
2. Умножим обе стороны на 2: 4 = a + b - c.
3. Таким образом, a + b = c + 4.

Теперь используем формулу для площади:

1. По формуле площади: 24 = (a * b) / 2.
2. Умножим обе стороны на 2: 48 = a * b.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1) a + b = c + 4
• 2) a * b = 48

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим c:

1. c = a + b - 4.

Теперь подставим это значение c во второе уравнение:

1. Подставим значение c в формулу радиуса описанной окружности: R = c / 2.
2. Вместо c подставим a + b - 4: R = (a + b - 4) / 2.

Чтобы найти a и b, мы можем использовать метод подбора или решить квадратное уравнение, основанное на произведении и сумме катетов. Однако в данном случае можно заметить, что:

• Пусть a = 6 см и b = 8 см, тогда a * b = 48 см².
• Сумма a и b: 6 + 8 = 14 см, следовательно, c = 14 - 4 = 10 см.

Теперь подставим значение c в формулу для радиуса описанной окружности:

1. R = 10 / 2 = 5 см.

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника, составляет 5 см.