Задача 1.

Дано: треугольник ABC, ∠C = 90°, AB = 10 см, ∠A = 30°.Найти: проекции катетов AC и BC на гипотенузу AB.

Решение:

1. Катет BC лежит напротив угла в 30°, значит, он равен половине гипотенузы: BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{10}{2} = 5$ (см).

2. Проекция катета BC на гипотенузу равна длине самого катета: BC$_\bot$ = BC = 5 см.

3. По теореме о сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника: AC$^2$ + BC$^2$ = AB$^2$.

4. AC$^2$ = AB$^2$ – BC$^2$, AC$^2$ = 10$^2$ – 5$^2$ = 75.

5. AC = $\sqrt{75}$, AC ≈ 8,66 (см).

6. Проекция катета AC на гипотенузу: AC$\bot$ = AB * cos ∠A, AC$\bot$ ≈ 10 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, AC$_\bot$ ≈ 5 $\sqrt{3}$, AC$_\bot$ ≈ 8,66 (см) — проекция равна длине катета.

Ответ: 5 см и 8,66 см.

Задача 2.

Дано: треугольник ABC, ∠B = 90°, ∠А = 60°, BC$_\bot$ = 6 см.

Найти: проекцию катета АС на гипотенузу АВ и наименьшую высоту треугольника.

Решение:

1. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то ∠АСВ = 90° – ∠ВАС = 90°–60°=30°.

2. Катет ВС лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы АВ: ВС = $\frac{1}{2}$АВ.

3. Пусть АС$\bot$ — проекция катета АС на гипотенузу. Тогда АС$\bot$ + ВС$\bot$ = АВ$\bot$, где АВ$_\bot$ — длина гипотенузы.

4. По условию ВС$\bot$=6 см, тогда АВ$\bot$ = ВС$\bot$+АС$\bot$ =6+6=12 (см), а значит, АВ = 2ВС = 2 6 = 12 (см).

5. По теореме Пифагора АС = $\sqrt{АВ^2-ВС^2}$, АС = $\sqrt{(12)^2-(6)^2}$, АС=√(144–36), АС=√108, АС≈10,39 (см).

6. Наименьшая высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, т. е. h = BC.

Ответ: АС$_\bot$≈10,39 см, h=BC=6 см.