Тема: Подобные задачи относятся к теме «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника»

Цель: изучить соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, научиться применять их для решения задач.

Задачи:

• Изучить теоретический материал по теме.
• Научиться применять теоремы о соотношениях между сторонами и углами в задачах.
• Развивать логическое мышление и умение анализировать информацию.

Теоретический материал

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90°. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

В прямоугольном треугольнике существуют следующие соотношения между сторонами:

• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.
• Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: $a = \frac{1}{2}c$.

Эти соотношения позволяют решать задачи на нахождение сторон прямоугольного треугольника.

Также в прямоугольном треугольнике существует связь между острыми углами:

• Сумма острых углов равна 90°: $\alpha + \beta = 90°$.
• Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $tg \alpha = \frac{a}{b}$.

Используя эти соотношения, можно решать задачи на нахождение углов прямоугольного треугольника.

Рассмотрим несколько примеров задач на применение соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

1. Задача: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны длины катетов AC = 6 см и BC = 8 см. Найти длину гипотенузы AB.Решение:По теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB^2 = 6^2 + 8^2$$AB^2 = 36 + 64$$AB^2 = 100$$AB = \sqrt{100}$$AB = 10 (см)$Ответ: длина гипотенузы равна 10 см.

2. Задача: В прямоугольном треугольнике ABC с острым углом A, равным 30°, и гипотенузой BC, равной 24 см, найти длину катета AC.Решение:Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AC = $\frac{1}{2}\cdot 24 = 12 (см)$.Ответ: длина катета AC равна 12 см.

3. Задача: В прямоугольном треугольнике ABC известны длины катетов AC и BC. Найти острый угол A.Решение:Пусть AC = 5 см, BC = 12 см. По теореме Пифагора находим гипотенузу AB:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB^2 = 5^2 + 12^2$$AB^2 = 25 + 144$$AB^2 = 169$$AB = \sqrt{169}$$AB = 13 (см)$Теперь найдём тангенс угла A:$tg A = \frac{AC}{BC}$$tg A = \frac{5}{12}$Зная тангенс, найдём угол A:$A = arctg \frac{5}{12}$Ответ: острый угол A равен $arctg \frac{5}{12}$.

Таким образом, мы рассмотрели основные соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, научились применять их для нахождения неизвестных сторон и углов. Эти знания пригодятся нам при решении более сложных задач и помогут лучше понять геометрию.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие соотношения существуют между сторонами прямоугольного треугольника?
2. Как связаны острые углы прямоугольного треугольника?
3. Что такое тангенс острого угла?
4. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника по катетам?
5. Как найти катет прямоугольного треугольника, если известен другой катет и гипотенуза?
6. Как найти острый угол прямоугольного треугольника, зная катеты?