Биссектриса треугольника: определение и свойства

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

В геометрии биссектриса имеет особое значение. Она обладает рядом свойств и характеристик, которые делают ее важным инструментом для изучения и анализа геометрических фигур.

Свойства биссектрисы треугольника

1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности.

Это свойство является важным результатом, который используется для определения центра окружности, вписанной в треугольник. Для доказательства этого свойства рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрисы углов A и B. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке O. Тогда луч AO является биссектрисой угла A, а луч BO – биссектрисой угла B.

Теперь рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом, равным расстоянию от точки O до стороны AC. Эта окружность будет касаться сторон треугольника ABC в точках M, N и K. Докажем, что эта окружность вписана в треугольник ABC.

Для этого достаточно доказать, что все три точки M, N и K лежат на сторонах треугольника ABC. Рассмотрим точку M. Луч AM является биссектрисой угла A. Следовательно, угол BAM равен углу CAM. Так как AM=OM, то треугольники ABM и AOC равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что BM=BC. Таким образом, точка M лежит на стороне BC. Аналогично можно доказать, что точки N и K также лежат на сторонах AB и AC соответственно.

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

3. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказать это свойство можно следующим образом:

Пусть биссектриса AD делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BD и CD. Требуется доказать, что BD/CD=AB/AC.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Эти треугольники имеют общую сторону AD, а также равные углы A и D. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что BD/AD=AD/CD.

С другой стороны, так как AD является биссектрисой, то ∠BAD=∠CAD. Следовательно, треугольники ABD и ACD также подобны по двум сторонам и углу между ними (AB/AC=BD/CD).

Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что ∠ABD=∠ACD. Но углы ABD и ACB являются смежными. Следовательно, ∠ABD+∠ABC=180°. Аналогично, ∠ACD+∠ACB=180°.

Таким образом, ∠ABD=180°-∠ABC, а ∠ACD=180°-∠ACB. Подставив эти значения в равенство ∠ABD=∠ACD, получаем: 180°-∠ABC=180°-∠ACB, или ∠ABC=∠ACB.

Так как треугольники ABC и CBD равны по стороне и двум прилежащим углам, то BC=BD. Отсюда следует, что BD/CD=BC/CD=AB/AC, что и требовалось доказать.

4. Длина биссектрисы равна удвоенному произведению стороны на косинус половины противолежащего угла.

Вывод формулы длины биссектрисы основан на свойствах биссектрисы и теореме косинусов. Рассмотрим треугольник ABC, в котором биссектриса BD проведена из вершины B. Требуется найти длину биссектрисы BD.

Пусть ∠C=α, тогда ∠A=90°-α/2. По свойству биссектрисы AD/DC=AB/BC. Также по свойству биссектрисы ∠ADB=∠CDB. Заменим в теореме косинусов cos∠ADB на cos∠CDB, получим: BD²=AB²+AD²-2ABADcos∠ADB.

Заменив AD/DC=AB/BC, получим BD²=(AB²+AD²)2/BC²-2AD²/BC²cos∠ADB=(AB²+AB²)/BC²-AB²cos²α/2BC²=(2AB²)/BC²-(AB²/2BC²)cos²α=(AB²/BC²)((2-cos²α).

Следовательно, BD=√(AB²/BC²)((2-cos²α)=AB√(2-cosα).

Примеры задач и их решения

Задача 1: В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что AB=5, BC=7, ∠BAC=60°. Найдите длину биссектрисы AD.

Решение: По свойству биссектрисы AB/AC=AD/DC. Пусть AD=x, тогда DC=7-x. По теореме косинусов AC²=AB²+BC²-2ABBCcos∠BAC. Подставляя значения AB, BC и ∠BAC, получаем AC²=25+49-2570,5=49.

Тогда AC=7. Теперь можно записать пропорцию AB/AC=AD/DC: 5/7=x/(7-x). Решая уравнение, находим x=3,5.

Ответ: длина биссектрисы AD равна 3,5.

Задача 2: В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1. Найдите длину отрезка A1B1, если AB=6, BC=8, AC=10.

Решение: Пусть A1B пересекает биссектрису BB1 в точке M. Треугольник ABM подобен треугольнику ABC по двум углам (∠AMB-общий, ∠ABM=∠ABC). Из подобия треугольников следует: AB/AB1=AC/AB. Тогда AB1=AB*AC/AB=12. Аналогично находим, что BB1=16.

Треугольник AA1B1 также подобен треугольнику ABC, поэтому A1B/AB=A1B1/BB1. Подставляя найденные значения AB, BB1 и A1B, получаем A1B=4,2.

Ответ: Длина отрезка A1B равна 4,2.

Биссектрису можно использовать для решения различных задач, связанных с треугольниками. Знание свойств биссектрисы помогает решать задачи на нахождение углов, сторон, площадей и других характеристик треугольника.

Важно отметить, что биссектриса может быть как внешней, так и внутренней. Внешняя биссектриса угла треугольника — это луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. Внутренняя биссектриса угла треугольника – это луч, исходящий из вершины неразвернутого угла и лежащий внутри треугольника, который делит данный угол на два угла.

Изучение биссектрисы — важная часть геометрии, которая помогает лучше понять структуру треугольника и его свойства.