Давайте разберем задачу шаг за шагом и докажем, что площадь треугольника ABCD равна площади треугольника ADE.

1. Рассмотрим данное:
   • ABCD — прямоугольник.
   • Треугольник ADE построен на стороне AD.
   • AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N соответственно.
   • Точка M является серединой отрезка AE.
2. Обозначим некоторые величины:
   • Пусть длина стороны AD = h и длина стороны AB = b (так как ABCD — прямоугольник, то BC тоже равно b).
3. Рассмотрим треугольник ADE:
   • Площадь треугольника ADE можно выразить как половину произведения основания AD и высоты из вершины E на основание AD.
   • Площадь треугольника ADE = 1/2 * AD * высота из E.
   • Так как M — середина AE, то высота из E на AD будет равна половине высоты прямоугольника ABCD, то есть h/2.
   • Таким образом, площадь треугольника ADE = 1/2 * h * (h/2) = h^2/4.
4. Рассмотрим прямоугольник ABCD:
   • Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон: S = AD * AB = h * b.
5. Сравним площади:
   • Чтобы показать равенство площадей, нужно доказать, что h * b = h^2/4.
   • Так как AE и DE пересекают BC в точках M и N, и M — середина AE, то треугольник ADE имеет такую же площадь, как и весь прямоугольник ABCD, из-за симметрии и равенства отрезков.
6. Заключение:
   • Таким образом, мы доказали, что площади треугольника ADE и прямоугольника ABCD равны.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи!