Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 65°. Какова градусная мера меньшей из дуг, заключённых между точками касания?

Геометрия 8 класс Углы между касательными и дугами окружности угол между касательными касательные к окружности градусная мера дуг геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые основные свойства окружности и углов.

Пусть у нас есть окружность, и из точки A проведены две касательные к окружности, которые касаются её в точках B и C. Угол между этими касательными, угол BAC, равен 65°.

Согласно свойствам окружности, угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки, равен половине разности дуг, заключённых между точками касания. В нашем случае это можно записать следующим образом:

Формула:

Угол BAC = 0,5 * (дуга BC - дуга AC)

Так как дуги BC и AC являются частью окружности, мы можем обозначить их градусные меры как x и y соответственно. Тогда у нас есть:

Уравнение:

65° = 0,5 * (x - y)

Теперь, чтобы избавиться от 0,5, умножим обе стороны уравнения на 2:

Упрощение:

130° = x - y

Это уравнение показывает, что разность между дугой BC и дугой AC равна 130°. Теперь мы знаем, что сумма всех дуг в окружности равна 360°. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

Сумма дуг:

x + y = 360°

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 130° = x - y
2. x + y = 360°

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим x:

x = 130° + y

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

(130° + y) + y = 360°

Упростим уравнение:

130° + 2y = 360°

Теперь вычтем 130° из обеих сторон:

2y = 230°

Теперь разделим обе стороны на 2:

y = 115°

Теперь подставим значение y обратно в уравнение для x:

x = 130° + 115° = 245°

Таким образом, мы нашли меры дуг:

• Дуга BC = 245°
• Дуга AC = 115°

Теперь мы можем ответить на вопрос: меньшая из дуг, заключённых между точками касания, равна 115°.

Ответ:

Градусная мера меньшей из дуг, заключённых между точками касания, равна 115°.