В окружности с радиусом 5 см проведена хорда AB длиной 6 см. На прямой AB, вне хорды, отмечена точка P так, что отношение AP к PB равно 5 к 2. Какое расстояние от точки P до центра окружности?

Геометрия 8 класс Хорды и расстояние до центра окружности геометрия 8 класс окружность радиус хорда длина хорды точка P отношение отрезков расстояние до центра окружности задачи по геометрии решение задач математические задачи Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть окружность с радиусом 5 см и хорда AB длиной 6 см. Сначала найдем расстояние от центра окружности O до хорды AB. Для этого воспользуемся свойством окружности.

• Проведем перпендикуляр из центра окружности O к хорде AB. Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с хордой будет точкой M.
• Так как хорда AB равна 6 см, то отрезки AM и MB будут равны по 3 см, так как точка M делит хорд на два равных отрезка.
• Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике OMA, где OA - это радиус (5 см), AM - это половина хорды (3 см), а OM - это расстояние от центра до хорды, мы можем записать:

OA^2 = OM^2 + AM^2

Подставим значения:

• 5^2 = OM^2 + 3^2
• 25 = OM^2 + 9
• OM^2 = 25 - 9
• OM^2 = 16
• OM = 4 см

Теперь у нас есть расстояние от центра окружности до хорды AB, которое равно 4 см.

Далее, найдем расстояние от точки P до центра окружности O. Для этого нам нужно определить, где находится точка P.

• По условию, отношение AP к PB равно 5 к 2. Обозначим AP = 5x и PB = 2x.
• Тогда общее расстояние AB = AP + PB = 5x + 2x = 7x.
• Мы знаем, что AB = 6 см, следовательно, 7x = 6 см.
• Отсюда x = 6/7 см.

Теперь можем найти AP и PB:

• AP = 5x = 5 * (6/7) = 30/7 см.
• PB = 2x = 2 * (6/7) = 12/7 см.

Теперь найдем расстояние от точки P до центра O. Поскольку P находится на продолжении AB, расстояние от P до O будет равно сумме OM и AP:

• PO = OM + AP = 4 см + 30/7 см.

Чтобы сложить 4 см и 30/7 см, сначала преобразуем 4 см в дробь с тем же знаменателем:

• 4 см = 28/7 см.

Теперь складываем:

• PO = 28/7 см + 30/7 см = (28 + 30)/7 = 58/7 см.

Таким образом, расстояние от точки P до центра окружности O равно 58/7 см, что примерно равно 8.29 см.

Ответ: расстояние от точки P до центра окружности равно 58/7 см или примерно 8.29 см.