В параллелограмме ABCD на стороне BC отмечена точка P, так что, BP:PC=3:1. O - точка пересечения диагоналей. Как можно выразить векторы AO и PA через AB=x и AD=y?

Геометрия 8 класс Векторы и их свойства в параллелограмме параллелограмм ABCD точка P BP:PC=3:1 точка O пересечение диагоналей векторы AO векторы PA AB=x AD=y геометрия 8 класс задачи по геометрии векторы в параллелограмме свойства параллелограмма векторное выражение решение задач по геометрии Новый

Давайте разберем, как выразить векторы AO и PA через векторы AB и AD в параллелограмме ABCD, где на стороне BC находится точка P, такая что BP:PC=3:1.

Шаг 1: Найдем вектор AO.

Сначала определим вектор AC. В параллелограмме ABCD вектор AC можно выразить через векторы AB и AD следующим образом:

• AC = AB + BC
• Так как BC = AD (в параллелограмме противолежащие стороны равны), то мы можем записать: AC = AB + AD.

Теперь, зная, что O – это точка пересечения диагоналей, мы можем сказать, что O делит диагональ AC пополам, то есть:

• AO = 1/2 AC.

Подставим выражение для AC:

• AO = 1/2 (AB + AD).

Теперь подставим обозначения:

• AO = 1/2 (x + y).

Таким образом, мы получаем:

• AO = (x + y) / 2.

Шаг 2: Найдем вектор PA.

Теперь давайте выразим вектор PA. Для этого сначала найдем вектор AP:

• AP = AB + BP.

Так как BP:PC=3:1, это значит, что BP составляет 3/4 от всего отрезка BC. Следовательно:

• BC = AD, значит BP = 3/4 AD.

Теперь подставим это значение в выражение для AP:

• AP = AB + BP = AB + 3/4 BC = AB + 3/4 AD.

Теперь заменим AB и AD на наши переменные:

• AP = x + 3/4 y.

Теперь, чтобы найти PA, мы можем воспользоваться правилом знаков:

• PA = - AP = - (x + 3/4 y).

Таким образом, мы получаем:

• PA = -x - 3/4 y.

В итоге, мы выразили оба вектора:

• AO = (x + y) / 2,
• PA = -x - 3/4 y.

Это и есть искомые выражения для векторов AO и PA через векторы AB и AD.