В прямоугольном треугольнике АВС точка О является серединой гипотенузы АВ. На отрезке АС мы обозначили точку М, а на отрезке ВС – точку К так, что угол МОК является прямым. Как можно доказать, что АМ² + ВК² = МК²? Помогите, пожалуйста.

Геометрия 8 класс Теорема Пифагора прямоугольный треугольник серединка гипотенузы угол МОК доказательство теоремы геометрия 8 класс свойства треугольников Пифагор квадрат гипотенузы геометрические задачи отрезки треугольника Новый

Ответ:

Мы доказали, что МК² = АМ² + ВК².

Объяснение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С равен 90°. Точка О является серединой гипотенузы АВ, что означает, что отрезки АО и ОБ равны. На отрезке АС мы выбираем точку М, а на отрезке ВС - точку К так, что угол МОК является прямым.

Дано:

• Треугольник АВС - прямоугольный (∠С = 90°);
• О - середина гипотенузы АВ (AO = OB);
• М находится на отрезке АС; К находится на отрезке ВС; ∠МОК = 90°.

Доказать: АМ² + ВК² = МК².

Доказательство:

Для начала мы сделаем дополнительное построение: продлим отрезок МО за точку О так, чтобы МО = ОЕ. Затем соединим точки Е и В.

Теперь рассмотрим треугольник ΔЕКМ. Поскольку угол МОК является прямым, а МО = ОЕ (по построению), то отрезок КО будет медианой и высотой в треугольнике ΔЕКМ. Это означает, что треугольник ΔЕКМ является равнобедренным, и следовательно, МК = КЕ.

Теперь обратим внимание на треугольники ΔАОМ и ΔВОЕ. Из условия мы знаем, что AO = OB (так как О - середина), а также МО = ОЕ (по построению). Углы ∠АОМ и ∠ВОЕ являются вертикальными, что означает, что они равны. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников, мы можем утверждать, что треугольники ΔАОМ и ΔВОЕ равны, следовательно, АМ = ЕВ.

Также мы можем заметить, что углы ∠А и ∠ОВЕ являются соответственными углами, так как отрезок ЕВ параллелен отрезку АС (это следует из свойств параллельных прямых и секущей). Поскольку AC перпендикулярен BC, то по теореме о перпендикулярах, отрезок EB также будет перпендикулярен BC.

Теперь рассмотрим треугольник ΔКЕВ, который является прямоугольным треугольником. По теореме Пифагора мы можем записать:

ЕК² = ЕВ² + ВК².

Мы уже установили, что ЕК = МК и ЕВ = АМ. Подставив эти значения в уравнение, получаем:

МК² = АМ² + ВК².

Таким образом, мы доказали, что АМ² + ВК² = МК².