В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна 6, а радиус вписанной окружности составляет 1, как можно вычислить площадь этого треугольника?

Геометрия 8 класс Площадь треугольника и свойства прямоугольного треугольника прямоугольный треугольник гипотенуза 6 радиус вписанной окружности 1 площадь треугольника вычисление площади Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, где известны длина гипотенузы и радиус вписанной окружности, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Определим обозначения: Пусть a и b - катеты треугольника, c - гипотенуза. В нашем случае c = 6, а радиус вписанной окружности r = 1.
2. Используем формулу для радиуса вписанной окружности: Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр. Формула выглядит так:

   r = S / p,

   где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

3. Найдем полупериметр: Полупериметр p определяется как:

   p = (a + b + c) / 2.

4. Площадь треугольника через радиус: Подставим известные значения в формулу:

   1 = S / p.

   Таким образом, S = p.

5. Составим систему уравнений: У нас есть две формулы:
   • S = 1 * p;
   • p = (a + b + 6) / 2.
6. Используем теорему Пифагора: Для прямоугольного треугольника справедливо:

   a² + b² = c².

   Подставим c = 6:

   a² + b² = 36.

7. Теперь выразим a и b через S: Площадь S также можно выразить как:

   S = (a * b) / 2.

8. Подставим выражение для S в систему: Мы знаем, что S = p, значит:

   (a * b) / 2 = (a + b + 6) / 2.

   Умножим обе стороны на 2:

   a * b = a + b + 6.

9. Теперь у нас есть две системы уравнений:
   • a² + b² = 36;
   • a * b = a + b + 6.
10. Решим систему: Можно выразить a и b через одну переменную, например, через a:

    b = (a + 6) / a - 1.

11. Подставим это значение в первое уравнение: После подстановки и упрощения получим квадратное уравнение, которое можно решить.
12. После нахождения катетов: Найдите площадь треугольника по формуле S = (a * b) / 2.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти площадь прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и радиус вписанной окружности.