В данной задаче мы имеем равнобедренный треугольник ABC, где стороны AB и AC равны. Также у нас есть прямая PF, которая пересекает боковые стороны AB и AC в точках P и F соответственно. Из условия задачи нам известно, что длина отрезка AP составляет 31 дм.

Теперь давайте внимательно рассмотрим треугольники, которые у нас есть. Угол B треугольника ABC равен углу APF. Это означает, что прямые PF и BC являются параллельными. Почему это важно? Когда две прямые параллельны, они отсекают от углов подобные треугольники.

В нашем случае это означает, что треугольники ABC и APF подобны. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC),то и треугольник APF также будет равнобедренным, потому что соответствующие углы равны.

Поскольку мы знаем, что AP = 31 дм, по свойствам равнобедренного треугольника APF мы можем утверждать, что отрезок AF также равен отрезку AP, то есть AF = AP = 31 дм.

Таким образом, длина отрезка AE, где AE = AP + PF, будет равна 31 дм + 31 дм = 62 дм.

Итак, в качестве ответа: длина отрезка AE составляет 62 дм.