Для решения задачи о равнобедренном треугольнике ABC, где угол при основании равен 32 градусам, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от положения биссектрисы AM.

Исходные данные:

• Треугольник ABC равнобедренный.
• Угол при основании ACB равен 32 градусам.
• Боковая сторона AB равна боковой стороне AC.
• Биссектрису AM делит угол A на две равные части.

Угол ABC равен 32 градусам, следовательно:

• Угол ACB = 32 градуса.
• Угол BAC = 180 - (32 + 32) = 116 градусов.

Случай 1: Биссектрису AM проведена из вершины A к основанию BC.

В этом случае биссектрису AM делит угол BAC на два равных угла:

• Угол BAM = 116 / 2 = 58 градусов.
• Угол CAM = 58 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ABM:

• Угол ABM = угол BAM = 58 градусов.
• Угол AMB = 180 - (угол ABM + угол A) = 180 - (58 + 32) = 90 градусов.

Таким образом, углы треугольника ABM в первом случае:

• Угол ABM = 58 градусов.
• Угол AMB = 90 градусов.
• Угол A = 32 градусов.

Случай 2: Биссектрису AM проведена из вершины A к основанию AC.

В этом случае аналогично, угол BAC делится на два равных угла:

• Угол BAM = 58 градусов.
• Угол CAM = 58 градусов.

Однако, в треугольнике ABM мы также можем рассмотреть, что:

• Угол ABM остается равным 58 градусов.
• Угол AMB = угол ABC = 32 градуса.

Таким образом, углы треугольника ABM во втором случае:

• Угол ABM = 58 градусов.
• Угол AMB = 32 градуса.
• Угол A = 90 градусов.

Вывод:

В обоих случаях угол ABM равен 58 градусам, но угол AMB может быть либо 90 градусов (в случае, если AM является высотой),либо 32 градуса (в случае, если AM просто биссектрисой). Следовательно, в зависимости от того, является ли AM высотой или нет, углы треугольника ABM могут варьироваться.