В треугольнике ABC угол C равен 90°. M — середина стороны AB, длина которой 24, а длина стороны BC равна 14. Как найти длину отрезка CM? Прошу расписать решение подробно.

Геометрия 8 класс Геометрия треугольников треугольник ABC угол C середина стороны AB длина AB длина BC отрезок CM решение задачи геометрия 8 класс нахождение длины отрезка свойства треугольника Новый

Чтобы найти длину отрезка CM в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, и M — середина стороны AB, давайте следовать пошагово.

1. **Определим координаты точек**: Для удобства мы можем разместить треугольник ABC в координатной системе. Пусть точка C находится в начале координат (0, 0), точка A будет на оси Y, а точка B на оси X.

• Пусть A(0, h), где h — высота, которую мы пока не знаем.
• Пусть B(b, 0), где b — основание, которое мы тоже пока не знаем.

2. **Используем данные о длинах сторон**:

• Согласно условию, длина стороны AB равна 24. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), где (x1, y1) — координаты A, а (x2, y2) — координаты B.

Подставляем координаты точек:

AB = √((b - 0)² + (0 - h)²) = √(b² + h²).

Мы знаем, что AB = 24, следовательно:

√(b² + h²) = 24.

Квадратим обе стороны:

b² + h² = 576. (1)

3. **Используем длину стороны BC**: Длина стороны BC равна 14. Снова используем формулу расстояния:

BC = √((b - 0)² + (0 - 0)²) = b.

Мы знаем, что BC = 14, следовательно:

b = 14. (2)

4. **Подставляем значение b в уравнение (1)**:

Подставим b = 14 в уравнение (1):

14² + h² = 576.

196 + h² = 576.

h² = 576 - 196 = 380.

h = √380 = √(4 * 95) = 2√95.

5. **Находим координаты точки M**: Так как M — середина отрезка AB, можем найти его координаты:

• xM = (xA + xB) / 2 = (0 + 14) / 2 = 7.
• yM = (yA + yB) / 2 = (2√95 + 0) / 2 = √95.

Таким образом, координаты точки M равны (7, √95).

6. **Находим длину отрезка CM**: Теперь мы можем найти длину отрезка CM, используя формулу расстояния:

CM = √((xM - xC)² + (yM - yC)²).

Подставляем координаты:

CM = √((7 - 0)² + (√95 - 0)²) = √(7² + (√95)²) = √(49 + 95) = √144 = 12.

Ответ: длина отрезка CM равна 12.