Задача: отрезок AB равен 20 и касается окружности радиуса 21 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Какова длина отрезка AD?

Геометрия 8 класс Задачи на касательные и секущие к окружности геометрия 8 класс отрезок AB длина отрезка окружность радиус 21 центр O точка B пересечение отрезок AO точка D задача по геометрии решение задачи математическая задача свойства окружности касательная к окружности Новый

Решим задачу, используя теорему о касательной и секущей, проведенной из одной точки к окружности.

Дано: отрезок AB равен 20, радиус окружности равен 21, и касательная AB касается окружности в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Необходимо найти длину отрезка AD.

Согласно теореме, если из точки A провести касательную к окружности и секущую, то выполняется равенство: квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину отрезка от точки касания до точки пересечения с окружностью. Обозначим длину отрезка AD как x. Тогда длина секущей AO будет равна x + 2r, где r - радиус окружности.

• Касательная AB равна 20, то есть:
• AB^2 = x * (x + 2 * r)

Подставим известные значения:

• 20^2 = x * (x + 2 * 21)
• 400 = x * (x + 42)

Теперь раскроем скобки:

• 400 = x^2 + 42x

Переносим все в одну сторону уравнения:

• x^2 + 42x - 400 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 * 1 * (-400)
• D = 1764 + 1600 = 3364

Теперь находим корни уравнения:

• x = (-b ± √D) / 2a
• x = (-42 ± √3364) / 2
• √3364 = 58 (так как 58^2 = 3364)

Теперь подставим значение корня:

• x = (-42 + 58) / 2 = 16 / 2 = 8
• x = (-42 - 58) / 2 = -100 / 2 = -50 (отрицательный корень не подходит)

Таким образом, длина отрезка AD равна 8.

Ответ: 8