99 баллов! Дал бы больше, но нельзя. Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 6. Какова высота призмы, если прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60°?

Геометрия 9 класс Правильная треугольная призма правильная треугольная призма боковая поверхность призмы высота призмы угол наклона геометрические задачи Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое правильная треугольная призма. Это фигура, у которой два основания - равнобедренные треугольники, а боковые грани - прямоугольники.

Дано, что боковая поверхность призмы равна 6. Боковая поверхность правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:

Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота

Обозначим высоту призмы как h. Поскольку призма правильная, периметр основания можно выразить через сторону треугольника.

Теперь рассмотрим наклонную прямую, которая проходит через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания. Угол наклона этой прямой к плоскости основания составляет 60°. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты призмы.

Пусть a - длина стороны основания (равностороннего треугольника). Тогда периметр основания будет равен 3a. Подставим это в формулу для боковой поверхности:

6 = 3a * h

Теперь выразим h:

h = 6 / (3a) = 2 / a

Теперь, чтобы связать высоту h и угол наклона 60°, можно использовать отношение:

tan(60°) = h / (a/2)

Так как tan(60°) = √3, мы можем записать:

√3 = h / (a/2)

Отсюда выразим h:

h = √3 (a/2) = (√3 a) / 2

Теперь у нас есть два выражения для h:

1. h = 2 / a
2. h = (√3 * a) / 2

Приравняем эти два выражения:

2 / a = (√3 * a) / 2

Теперь умножим обе стороны на 2a:

4 = √3 * a²

Теперь выразим a²:

a² = 4 / √3

Теперь подставим a² обратно в одно из выражений для h. Например, используем h = 2 / a. Для этого сначала найдем a:

a = √(4 / √3) = 2 / √(√3) = 2√3 / 3

Теперь подставим a в h:

h = 2 / (2√3 / 3) = 3 / √3 = √3

Таким образом, высота призмы равна √3.

Ответ: высота призмы равна √3.