Дан равнобедренный треугольник ABC (AC = CB), где A(1; -2; 1) и B(3; 2; -3). Вершина C находится на оси ординат. Какова площадь треугольника ABC?

Геометрия 9 класс Площадь треугольника в пространстве равнобедренный треугольник треугольник ABC координаты A координаты B ось ординат площадь треугольника геометрия 9 класс задачи по геометрии нахождение площади треугольника координатная плоскость Новый

Для нахождения площади равнобедренного треугольника ABC, где вершина C находится на оси ординат, начнем с определения координат этой точки.

Заданы координаты точек A(1; -2; 1) и B(3; 2; -3). Точка C имеет координаты (0; y; 0), так как она находится на оси Y (ординат).

Теперь нам нужно найти длины отрезков AC и CB. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

• Длина AC: |AC| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
• Подставляем координаты точек A и C:
• |AC| = √((0 - 1)² + (y - (-2))² + (0 - 1)²) = √(1 + (y + 2)² + 1) = √(2 + (y + 2)²)

• Длина CB: |CB| = √((0 - 3)² + (y - 2)² + (0 - (-3))²)
• Подставляем координаты точек B и C:
• |CB| = √((-3)² + (y - 2)² + 3²) = √(9 + (y - 2)² + 9) = √(18 + (y - 2)²)

Так как треугольник ABC равнобедренный, длины отрезков AC и CB равны:

|AC| = |CB|

Подставим найденные выражения:

√(2 + (y + 2)²) = √(18 + (y - 2)²)

Теперь уберем квадратные корни, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

2 + (y + 2)² = 18 + (y - 2)²

Раскроем скобки:

• 2 + (y² + 4y + 4) = 18 + (y² - 4y + 4)

Упростим уравнение:

• y² + 4y + 6 = y² - 4y + 22

Уберем y² из обеих сторон:

• 4y + 6 = -4y + 22

Соберем все y на одной стороне уравнения:

• 8y = 16
• y = 2

Теперь мы можем найти координаты точки C: C(0; 2; 0).

Теперь мы можем найти середину отрезка AB, обозначим ее H. Сначала найдем координаты H:

• H = ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2) = ((1 + 3)/2; (-2 + 2)/2; (1 - 3)/2) = (2; 0; -1).

Теперь найдем длину отрезка CH, который будет высотой треугольника ABC:

• |CH| = √((2 - 0)² + (0 - 2)² + (-1 - 0)²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.

Теперь найдем половину основания AH:

• |AH| = √((2 - 1)² + (0 - (-2))² + (-1 - 1)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу:

Площадь = 1/2 * основание * высота = 1/2 * |AH| * |CH| = 1/2 * 3 * 3 = 9.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 9 квадратных единиц.