В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 2, как можно найти площадь треугольника МКР, если точки М, К и Р являются серединами рёбер AD, CD и DD1 соответственно?

Геометрия 9 класс Площадь треугольника в пространстве площадь треугольника МКР куб ABCDA1B1C1D1 середины ребер геометрия вычисление площади Новый

Для нахождения площади треугольника МКР в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 2, необходимо выполнить несколько шагов, начиная с определения координат точек, а затем применяя формулу для вычисления площади треугольника.

Шаг 1: Определение координат куба

Куб ABCDA1B1C1D1 можно представить в трехмерной системе координат следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, 2)
• B1(2, 0, 2)
• C1(2, 2, 2)
• D1(0, 2, 2)

Шаг 2: Нахождение координат точек М, К и Р

Теперь найдем координаты точек М, К и Р:

• Точка М - середина ребра AD. Координаты: M(0, 1, 0).
• Точка К - середина ребра CD. Координаты: K(1, 2, 0).
• Точка Р - середина ребра DD1. Координаты: R(0, 2, 1).

Шаг 3: Вычисление векторов

Для нахождения площади треугольника необходимо вычислить два вектора, исходящих из одной вершины. Выберем точку М:

• Вектор MK = K - M = (1 - 0, 2 - 1, 0 - 0) = (1, 1, 0).
• Вектор MR = R - M = (0 - 0, 2 - 1, 1 - 0) = (0, 1, 1).

Шаг 4: Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади через векторное произведение:

Площадь = 0.5 * ||MK × MR||, где "×" обозначает векторное произведение, а "|| ||" - модуль вектора.

Сначала найдем векторное произведение MK и MR:

• MK × MR = |i j k|
• |1 1 0|
• |0 1 1|

Вычисляя детерминант, получаем:

• i(1*1 - 0*1) - j(1*1 - 0*0) + k(1*1 - 1*0) = i(1) - j(1) + k(1).

Таким образом, векторное произведение MK × MR = (1, -1, 1).

Теперь найдем модуль этого вектора:

||MK × MR|| = √(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1 + 1) = √3.

Теперь подставим значение в формулу для площади:

Площадь треугольника МКР = 0.5 * √3.

Ответ: Площадь треугольника МКР равна 0.5 * √3.