И последняя задача на сегодня: площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, равна 18*корень 3. Просят найти длину ребра куба.

Геометрия 9 класс Площадь сечения куба площадь сечения куба плоскость через ребра длина ребра куба задача по геометрии куб и плоскость нахождение длины ребра Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа куба и его свойств.

Пусть длина ребра куба равна a. В кубе есть 8 вершин, и мы можем выбрать любую вершину как точку отсчета. Рассмотрим вершину, из которой выходят три ребра, направленные вдоль осей координат (например, по осям X, Y и Z).

Плоскость, проходящая через концы этих трех ребер, будет пересекать куб и образовывать треугольное сечение. Концы этих ребер будут находиться в следующих точках:

• (a, 0, 0)
• (0, a, 0)
• (0, 0, a)

Теперь найдем площадь сечения, образованного этими тремя точками. Для этого используем формулу для площади треугольника, заданного вершинами в пространстве. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где A, B и C - вершины треугольника, а AB и AC - векторы, образованные этими вершинами.

Векторы AB и AC можно найти следующим образом:

• AB = (a, 0, 0) - (0, a, 0) = (a, -a, 0)
• AC = (0, 0, a) - (0, a, 0) = (0, -a, a)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

• AB x AC = |i j k|
• |a -a 0|
• |0 -a a|

Вычисляя это определитель, получаем:

• i(-a * a - 0) - j(a * a - 0) + k(a * -a - 0) = -a^2 i - a^2 j + a^2 k

Таким образом, длина вектора AB x AC равна:

|AB x AC| = sqrt((-a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2) = sqrt{3a^4} = a^2 * sqrt(3).

Теперь подставим это значение в формулу для площади треугольника:

Площадь = 0.5 * |AB x AC| = 0.5 * (a^2 * sqrt(3)) = 0.5a^2 * sqrt(3).

По условию задачи, эта площадь равна 18 * sqrt(3). Таким образом, мы можем записать уравнение:

0.5a^2 * sqrt(3) = 18 * sqrt(3).

Теперь избавимся от sqrt(3), деля обе стороны на sqrt(3):

0.5a^2 = 18.

Умножим обе стороны на 2:

a^2 = 36.

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

a = 6.

Таким образом, длина ребра куба равна 6.