Чтобы построить проекцию плоскости, заданной тремя точками A, B и C, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Сначала мы найдем два вектора, которые лежат в плоскости, используя заданные точки.

• Вектор AB: он определяется как разность координат точки B и точки A.
• Вектор AC: он определяется как разность координат точки C и точки A.

Формулы для вычисления векторов:

• AB = B - A = (90 - 40, 5 - 70, 70 - 40) = (50, -65, 30)
• AC = C - A = (65 - 40, 60 - 70, 15 - 40) = (25, -10, -25)

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости, используя векторы AB и AC. Для этого мы воспользуемся векторным произведением.

Векторное произведение двух векторов A и B в трехмерном пространстве определяется как:

• N = AB x AC

Вычислим компоненты нормального вектора N:

• N_x = (-65) * (-25) - (30) * (-10) = 1625 + 300 = 1925
• N_y = (30) * (25) - (50) * (-25) = 750 + 1250 = 2000
• N_z = (50) * (-10) - (-65) * (25) = -500 + 1625 = 1125

Теперь, когда мы имеем нормальный вектор N, мы можем записать уравнение плоскости. Уравнение плоскости в общем виде выглядит так:

N_x * (x - x_0) + N_y * (y - y_0) + N_z * (z - z_0) = 0

где (x_0, y_0, z_0) — это координаты одной из точек, например, A.

Подставим значения:

• 1925 * (x - 40) + 2000 * (y - 70) + 1125 * (z - 40) = 0

Теперь, чтобы построить проекцию плоскости, нужно выбрать плоскость проекции. Например, если мы хотим проецировать на плоскость XY, мы можем игнорировать координату Z.

Для этого мы можем взять уравнение плоскости и выразить z через x и y:

• z = (N_x * (x - x_0) + N_y * (y - y_0) + N_z * (z_0)) / N_z

Теперь мы можем визуализировать проекцию плоскости на плоскость XY, подставляя разные значения x и y.

Таким образом, мы построили проекцию плоскости, заданной точками A, B и C, и получили уравнение плоскости. Это позволяет нам рассмотреть плоскость в трехмерном пространстве и ее проекцию на двумерную плоскость.