Чтобы составить уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно точки, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку:

1. Исходная прямая: Нам дана прямая с уравнением 2x − 5y + 7 = 0.
2. Точка симметрии: Точка, относительно которой мы будем строить симметрию, имеет координаты O(−2; 1).
3. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку O: Для этого мы сначала найдем коэффициенты нормального вектора прямой, перпендикулярной данной. Нормальный вектор исходной прямой имеет координаты (2, -5). Прямая, перпендикулярная данной, будет иметь нормальный вектор, который является ее направляющим вектором, то есть (5, 2).
4. Уравнение прямой, проходящей через точку O: Используем точку O и направляющий вектор (5, 2) для составления уравнения прямой. Формула уравнения прямой через точку с направляющим вектором: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b, где (x₀, y₀) - координаты точки, а (a, b) - направляющий вектор. Подставляем: (x + 2)/5 = (y - 1)/2.
5. Преобразование уравнения: Упростим это уравнение, чтобы получить его в стандартной форме. Перемножим крест-накрест: 2(x + 2) = 5(y - 1). Получаем: 2x + 4 = 5y - 5. Преобразуем: 2x - 5y + 9 = 0.
6. Симметрия относительно точки: Теперь у нас есть две прямые: исходная 2x − 5y + 7 = 0 и прямая, проходящая через точку O: 2x - 5y + 9 = 0. Чтобы найти уравнение симметричной прямой, мы используем тот факт, что коэффициенты уравнений прямых симметричны относительно точки, то есть они сохраняют свою разность относительно этой точки.
7. Нахождение уравнения симметричной прямой: Уравнение симметричной прямой будет иметь те же коэффициенты при x и y, но свободный член будет изменен так, чтобы сохранить симметрию относительно точки O. Разность свободных членов исходной и симметричной прямой должна быть равна удвоенной разности свободного члена исходной прямой и свободного члена прямой, проходящей через точку O. Итак, если разность свободного члена исходной прямой и прямой через точку O равна 2 (9 - 7),то свободный член симметричной прямой будет 7 - 2*2 = 3.
8. Уравнение симметричной прямой: Таким образом, уравнение симметричной прямой будет 2x - 5y + 3 = 0.

Вот так мы нашли уравнение прямой, симметричной относительно заданной точки. Если у вас есть вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, спросите!