Какова длина дуги и площадь соответствующего сектора, если хорда окружности равна 5 корней из 2 и стягивает дугу в 90 градусов?

Геометрия 9 класс Окружность и сектора длина дуги площадь сектора хорда окружности 90 градусов геометрия Новый

Чтобы найти длину дуги и площадь соответствующего сектора, нам нужно использовать некоторые формулы и свойства окружности. Давайте разберем каждый шаг подробно.

Шаг 1: Найдем радиус окружности

Для начала нам нужно найти радиус окружности, используя данные о хорде и угле, который она стягивает. У нас есть хорда, равная 5 корней из 2, и угол в 90 градусов. Мы можем использовать формулу для длины хорды:

L = 2 * R * sin(α/2)

где:

• L — длина хорды (5 корней из 2);
• R — радиус окружности;
• α — угол в радианах (90 градусов = π/2 радиан).

Подставим известные значения в формулу:

5√2 = 2 * R * sin(π/4).

Зная, что sin(π/4) = √2/2, подставим это значение:

5√2 = 2 * R * (√2/2).

Упрощаем уравнение:

5√2 = R * √2.

Теперь делим обе стороны на √2:

5 = R.

Таким образом, радиус окружности равен 5.

Шаг 2: Найдем длину дуги

Теперь, когда мы знаем радиус, можем найти длину дуги. Длина дуги (S) вычисляется по формуле:

S = R * α

где α — угол в радианах. В нашем случае α = π/2. Подставляем значения:

S = 5 * (π/2) = 5π/2.

Таким образом, длина дуги равна 5π/2.

Шаг 3: Найдем площадь сектора

Теперь найдем площадь сектора (A). Площадь сектора вычисляется по формуле:

A = (R² * α) / 2

Подставляем значения:

A = (5² * (π/2)) / 2 = (25 * (π/2)) / 2 = 25π/4.

Таким образом, площадь сектора равна 25π/4.

Итак, в итоге:

• Длина дуги равна 5π/2;
• Площадь сектора равна 25π/4.