Чтобы найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, давайте сначала разберемся с ее геометрией. Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и одинаковые боковые ребра.

Нам дано, что высота пирамиды равна 10 см и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти длину стороны основания.

1. Определите длину бокового ребра: Пусть длина бокового ребра равна l. Поскольку угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром, угол между высотой и боковым ребром равен 45 градусов.
2. Используйте тригонометрическое соотношение: В этом треугольнике косинус угла 45 градусов равен отношению высоты пирамиды к длине бокового ребра:
   cos(45°) = высота / боковое ребро = 10 / l.
   Поскольку cos(45°) = √2/2, у нас есть уравнение:
   √2/2 = 10 / l.
3. Решите уравнение: Умножим обе стороны уравнения на l и затем на 2/√2, чтобы найти l:
   l = 10 * 2/√2 = 10√2.
4. Найдите длину стороны основания: Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45 градусов, высота пирамиды и половина диагонали основания образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Если половина диагонали основания равна d/2, то:
   d/2 = 10.
   Таким образом, диагональ d равна 20 см.
5. Найдите сторону квадрата: Диагональ квадрата выражается через сторону a как d = a√2. Подставляем значение диагонали:
   a√2 = 20.
   Решаем уравнение:
   a = 20/√2 = 10√2.
6. Вычислите площадь основания: Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:
   Площадь = a² = (10√2)² = 100 * 2 = 200 см².

Таким образом, площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 200 см².