В правильной четырехугольной пирамиде Sabcd сторона основания равна 4 см, боковое ребро 5 см. Найдите:

1. Площадь боковой поверхности пирамиды
2. Объем пирамиды

Геометрия 9 класс Правильные пирамиды правильная четырехугольная пирамида площадь боковой поверхности объём пирамиды сторона основания 4 см боковое ребро 5 см Новый

Давайте решим задачу поэтапно. Начнем с нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды и затем перейдем к вычислению ее объема.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание, в нашем случае сторона основания равна 4 см. Боковая поверхность состоит из четырех треугольников, которые являются боковыми гранями пирамиды.

• Сначала найдем высоту бокового треугольника. Для этого нам нужно определить, какова высота треугольника, проведенная из вершины S на основание AB. Так как основание является квадратом, мы можем найти длину половины стороны основания:

Половина стороны основания равна 4 см / 2 = 2 см.

• Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника. Обозначим высоту бокового треугольника как h.

По теореме Пифагора: (боковое ребро)^2 = (половина стороны основания)^2 + (высота)^2.

Подставляем известные значения:

5^2 = 2^2 + h^2

25 = 4 + h^2

h^2 = 25 - 4 = 21

h = √21 см.

• Теперь мы можем найти площадь одного бокового треугольника:

Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 4 * √21.

Площадь одного треугольника = 2√21 см².

• Поскольку у нас четыре таких треугольника, общая площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности = 4 * 2√21 = 8√21 см².

2. Объем пирамиды:

Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S – площадь основания, h – высота пирамиды.

• Площадь основания (S) равна стороне в квадрате:

S = 4 см * 4 см = 16 см².

• Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Мы уже нашли высоту бокового треугольника, но нам нужна высота от вершины S до основания ABCD. Для этого снова используем теорему Пифагора:

h = √(боковое ребро^2 - (половина стороны основания)^2) = √(5^2 - 2^2) = √(25 - 4) = √21 см.

Теперь подставляем значения в формулу для объема:

V = (1/3) * 16 * √21.

V = (16/3) * √21 см³.

Итак, ответы:

• Площадь боковой поверхности пирамиды: 8√21 см².
• Объем пирамиды: (16/3) * √21 см³.