Чтобы найти объём V, получающийся при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте начнём с того, что определим стороны треугольника и затем воспользуемся формулой для объёма.

У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 и острым углом 30°. В этом треугольнике мы можем использовать свойства треугольников с углом 30°:

• Сторона, противоположная углу 30°, равна половине гипотенузы.
• Сторона, противоположная углу 60°, равна (корень из 3)/2 от гипотенузы.

Таким образом, мы можем найти длины катетов:

• Катет, противоположный углу 30°: 8 / 2 = 4.
• Катет, противоположный углу 60°: 8 * (корень из 3)/2 = 4 * корень из 3.

Объём V, получающийся при вращении треугольника вокруг гипотенузы, можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h

где S — площадь основания (треугольника), а h — длина гипотенузы.

Площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

S = (1/2) * a * b

где a и b — длины катетов. В нашем случае:

• a = 4
• b = 4 * корень из 3

Следовательно:

S = (1/2) * 4 * (4 * корень из 3) = 8 * корень из 3.

Теперь подставим найденные значения в формулу для объёма:

• h = 8 (гипотенуза)
• S = 8 * корень из 3 (площадь)

Таким образом, объём V будет равен:

V = (1/3) * (8 * корень из 3) * 8 = (64/3) * корень из 3.

Теперь, согласно условиям задачи, мы должны записать ответ в виде Vπ. Поскольку объём V = (64/3) * корень из 3, то в терминах π это будет:

Ответ: V = (64/3) * корень из 3 * π.