Какой периметр у прямоугольника, если его периметр равен 22, а диагональ равна корню из 61? Также, каков периметр другого прямоугольника, если его площадь равна 54, а отношение соседних сторон составляет 2:3?

Геометрия 9 класс Периметр и площадь прямоугольника периметр прямоугольника площадь прямоугольника отношение сторон диагональ прямоугольника геометрические задачи Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

Первый прямоугольник:

Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 22, а диагональ равна корню из 61. Периметр прямоугольника можно найти по формуле:

• P = 2(a + b),

где a и b - это длины сторон прямоугольника. Из условия мы имеем:

• 2(a + b) = 22.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

• a + b = 11.

Теперь используем диагональ. Диагональ прямоугольника можно найти по формуле:

• d = √(a² + b²).

По условию d = √61, значит:

• √(a² + b²) = √61.

Возведем обе стороны в квадрат:

• a² + b² = 61.

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a + b = 11,
• 2) a² + b² = 61.

Из первого уравнения выразим b:

• b = 11 - a.

Подставим это выражение во второе уравнение:

• a² + (11 - a)² = 61.

Раскроем скобки:

• a² + (121 - 22a + a²) = 61.

Соберем все в одно уравнение:

• 2a² - 22a + 121 - 61 = 0,
• 2a² - 22a + 60 = 0.

Упростим уравнение, разделив все на 2:

• a² - 11a + 30 = 0.

Теперь найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-11)² - 4*1*30 = 121 - 120 = 1.

Корни уравнения:

• a = (11 ± √1) / 2.

Таким образом, мы получаем:

• a₁ = (11 + 1) / 2 = 6,
• a₂ = (11 - 1) / 2 = 5.

Следовательно, стороны прямоугольника равны 6 и 5. Теперь мы можем подтвердить, что периметр равен 22, так как:

• P = 2(6 + 5) = 22.

Таким образом, периметр первого прямоугольника равен 22.

Второй прямоугольник:

Теперь рассмотрим второй прямоугольник, у которого площадь равна 54, а отношение соседних сторон составляет 2:3. Обозначим стороны как 2x и 3x. Тогда площадь можно выразить так:

• Площадь = 2x * 3x = 6x².

По условию, площадь равна 54:

• 6x² = 54.

Разделим обе стороны на 6:

• x² = 9.

Теперь найдем x:

• x = 3.

Теперь подставим x в выражение для сторон:

• Длина одной стороны: 2x = 2*3 = 6,
• Длина другой стороны: 3x = 3*3 = 9.

Теперь найдем периметр второго прямоугольника:

• P = 2(6 + 9) = 2*15 = 30.

Таким образом, периметр второго прямоугольника равен 30.

Итак, итог:

• Периметр первого прямоугольника: 22.
• Периметр второго прямоугольника: 30.