Чтобы найти длину хорды, которую окружность отсекает на данной прямой, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

У нас есть уравнение окружности:

(x - 2)² + (y - 4)² = 9

Это уравнение окружности с центром в точке (2, 4) и радиусом 3 (так как радиус равен корню из 9).

Уравнение прямой задано как:

y = -x + 5y

Чтобы упростить его, выразим y:

y = -x / 4.

Теперь у нас есть уравнение прямой в виде y = kx, где k = -1/4.

Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

1. Подставляем y = -x / 4 в (x - 2)² + (y - 4)² = 9:
2. (x - 2)² + (-x / 4 - 4)² = 9.
3. Упрощаем уравнение:
4. (x - 2)² + (-(x + 16) / 4)² = 9.

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое нужно решить. После подстановки и упрощения мы получим два значения для x, которые будут соответствовать точкам пересечения окружности и прямой.

После нахождения значений x подставим их обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y.

Теперь, когда у нас есть две точки пересечения (x1, y1) и (x2, y2),мы можем найти длину хорды с помощью формулы для расстояния между двумя точками:

Длина хорды = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Таким образом, следуя этим шагам, мы можем найти длину хорды, которую окружность отсекает на данной прямой.