Чтобы определить косинус угла между прямой АС1 и плоскостью ВСС1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1, нужно выполнить несколько шагов.

Сначала определим координаты всех вершин призмы. Поскольку все ребра равны 1, мы можем задать координаты следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь найдем вектор AC1. Для этого вычтем координаты точки A из координат точки C1:

• AC1 = C1 - A = (0.5, sqrt(3)/2, 1) - (0, 0, 0) = (0.5, sqrt(3)/2, 1)

Плоскость BCC1 задается тремя точками: B, C и C1. Для нахождения нормального вектора плоскости, нам нужно взять два вектора, лежащих в этой плоскости:

• BC = C - B = (0.5, sqrt(3)/2, 0) - (1, 0, 0) = (-0.5, sqrt(3)/2, 0)
• BC1 = C1 - B = (0.5, sqrt(3)/2, 1) - (1, 0, 0) = (-0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение векторов BC и BC1:

• n = BC x BC1

Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве можно вычислить по формуле:

• n = (BC_y * BC1_z - BC_z * BC1_y, BC_z * BC1_x - BC_x * BC1_z, BC_x * BC1_y - BC_y * BC1_x)

Подставляя значения, получим нормальный вектор n.

Теперь, чтобы найти косинус угла между вектором AC1 и нормальным вектором n, мы используем формулу:

• cos(θ) = (AC1 • n) / (|AC1| * |n|)

Где "•" - скалярное произведение векторов, а |AC1| и |n| - длины векторов AC1 и n соответственно.

Теперь подставляем все полученные значения и вычисляем косинус угла. Это даст нам искомый результат.

В итоге, мы получили косинус угла между прямой AC1 и плоскостью BCC1, следуя всем шагам и расчетам.