Чтобы вычислить объем прямой призмы, основание которой является квадратом, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. Объем V призмы рассчитывается по формуле:

V = S * h

где S - площадь основания, h - высота призмы.

В нашем случае:

• Высота h = 6 см.
• Основание - квадрат.

Теперь давайте найдем сторону квадрата. Мы знаем, что диагональ квадрата образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Это значит, что диагональ квадрата находится в плоскости, которая перпендикулярна основанию призмы.

Для квадрата, диагональ D можно выразить через сторону a:

D = a * sqrt(2)

Где sqrt(2) - это корень из 2. Поскольку диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью основания, мы можем рассмотреть треугольник, образованный высотой, половиной диагонали и самой диагональю. В этом треугольнике:

• Высота h = 6 см.
• Диагональ D = a * sqrt(2).

Угол 45 градусов говорит нам о том, что высота и половина диагонали равны:

h = (D / 2) * sin(45°)

Так как sin(45°) = sqrt(2)/2, мы можем подставить:

6 = (D / 2) * (sqrt(2)/2)

Умножим обе стороны на 2:

12 = D * (sqrt(2)/2)

Теперь умножим обе стороны на 2/sqrt(2):

D = 12 * (2/sqrt(2)) = 12 * sqrt(2)

Теперь мы можем найти сторону квадрата:

a = D / sqrt(2) = (12 * sqrt(2)) / sqrt(2) = 12 см.

Теперь, когда мы знаем сторону квадрата, можем вычислить его площадь:

S = a^2 = 12^2 = 144 см².

Теперь подставим значение площади основания и высоты в формулу для объема:

V = S * h = 144 * 6 = 864 см³.

Таким образом, объем прямой призмы составляет 864 см³.