СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Даны векторы а (-1; -2) и b (-2; 1). Какие углы образуют эти векторы с вектором а + b?

Желательно решить с использованием методов, которые применяются на уроках в 9 классе. Заранее спасибо!!

Геометрия 9 класс Векторы и углы между ними векторы угол между векторами геометрия 9 класс вектор а вектор b сумма векторов методы решения углы векторов геометрические задачи Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найдём вектор a + b.

• Вектор a = (-1; -2)
• Вектор b = (-2; 1)

Чтобы найти вектор a + b, складываем соответствующие компоненты:

• x-координаты: -1 + (-2) = -3
• y-координаты: -2 + 1 = -1

Таким образом, вектор a + b = (-3; -1).

2. Теперь найдём углы, которые образуют векторы a и b с вектором a + b.

Для этого нам нужно использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где a · b — скалярное произведение векторов, |a| и |b| — длины векторов.

3. Найдём длины векторов a, b и a + b.

• Длина вектора a: |a| = √((-1)² + (-2)²) = √(1 + 4) = √5.
• Длина вектора b: |b| = √((-2)² + (1)²) = √(4 + 1) = √5.
• Длина вектора a + b: |a + b| = √((-3)² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10.

4. Теперь найдём скалярные произведения:

• Скалярное произведение a и (a + b):
• a · (a + b) = (-1) * (-3) + (-2) * (-1) = 3 + 2 = 5.
• Скалярное произведение b и (a + b):
• b · (a + b) = (-2) * (-3) + (1) * (-1) = 6 - 1 = 5.

5. Теперь можем найти косинусы углов:

• cos(α) = (a · (a + b)) / (|a| * |(a + b)|) = 5 / (√5 * √10) = 5 / (√50) = 5 / (5√2) = 1/√2.
• cos(β) = (b · (a + b)) / (|b| * |(a + b)|) = 5 / (√5 * √10) = 5 / (√50) = 5 / (5√2) = 1/√2.

6. Теперь найдём углы:

• Угол α = arccos(1/√2) = 45°.
• Угол β = arccos(1/√2) = 45°.

Таким образом, векторы a и b образуют с вектором a + b углы по 45 градусов.