Похожие вопросы
2025-09-23 15:06:04
В основании пирамиды MABCD лежит трапеция ABCD, у которой AB=BC=CD=1 и AD=2. Грани MAB и MCD перпендикулярны основанию, а двугранный угол при ребре AD равен 30 градусов. Найдите высоту пирамиды.
Геометрия 9 класс Пирамида и ее свойства пирамиды геометрия 9 класс трапеция ABCD высота пирамиды Двугранный угол перпендикулярные грани задача по геометрии
2025-09-23 15:06:40
Для решения задачи начнем с анализа геометрической фигуры, описанной в условии. У нас есть пирамида MABCD с основанием в виде трапеции ABCD. Давайте разберем все шаги по порядку.
1. Определим координаты вершин трапеции ABCD.Пусть точка A находится в начале координат (0, 0), тогда:
- Точка B будет (1, 0) (так как AB = 1).
- Точка C будет (1, h), где h - высота трапеции, которую мы пока не знаем.
- Точка D будет (0, h) (так как AD = 2 и AD вертикально).
Так как BC = CD = 1, мы можем найти h, используя теорему Пифагора:
BC = sqrt((1 - 1)^2 + (h - 0)^2) = 1,
что дает h = 1.
2. Теперь мы можем записать координаты всех точек:- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
Грани MAB и MCD перпендикулярны основанию, значит, M будет находиться над точками A и D. Обозначим высоту пирамиды как h_M, тогда:
- M(0, 0, h_M)
- M(0, 1, h_M)
Двугранный угол при ребре AD равен 30 градусов. Это значит, что угол между нормалями плоскостей MAB и MCD составляет 30 градусов.
Нормаль к плоскости MAB можно найти через векторы AB и AM:
- AB = (1 - 0, 0 - 0, 0 - h_M) = (1, 0, -h_M)
- AD = (0 - 0, 1 - 0, 0 - h_M) = (0, 1, -h_M)
Нормаль к плоскости MCD:
- CD = (1 - 0, 1 - 1, 0 - h_M) = (1, 0, -h_M)
- DA = (0 - 0, 0 - 1, 0 - h_M) = (0, -1, -h_M)
Косинус угла между векторами можно найти по формуле:
cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|),
где A и B - нормали к плоскостям. Мы знаем, что угол равен 30 градусам, значит:
cos(30) = sqrt(3)/2.
6. Приравниваем и решаем уравнение:Подставим значения и решим уравнение на высоту h_M:
h_M = 2 * sqrt(3).
Таким образом, высота пирамиды равна:
Ответ: h_M = 2 * sqrt(3).