В параллелограмме ABCD биссектрисa острого угла C пересекает сторону AC в точке M, а продолжение стороны AB в точке K. При этом отношение KM к MC равно 2:3. Каковы длины сторон параллелограмма ABCD, если его периметр составляет 48 см?

Геометрия 9 класс Биссектрисы и их свойства в параллелограммах параллелограмм ABCD биссектрисa угла C длины сторон параллелограмма периметр 48 см отношение KM к MC Новый

Для решения задачи начнем с того, что в параллелограмме ABCD стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD также равны. Обозначим длины сторон параллелограмма следующим образом:

• AB = a
• BC = b

Так как периметр параллелограмма равен 48 см, мы можем записать уравнение:

Периметр = 2 * (AB + BC) = 48

Подставим обозначения:

2 * (a + b) = 48

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 24

Теперь рассмотрим отношение KM к MC, которое равно 2:3. Обозначим длину отрезка MC как x. Тогда длина отрезка KM будет равна:

KM = (2/3) * x

Согласно условию, мы можем выразить KM и MC в одной переменной:

• MC = x
• KM = (2/3) * x

Теперь найдем длину отрезка KC:

KC = KM + MC = (2/3)x + x = (2/3)x + (3/3)x = (5/3)x

Теперь мы знаем, что KM = (2/3)x, MC = x и KC = (5/3)x. Так как точка M находится на стороне AC, мы можем использовать свойства параллелограмма и биссектрисы.

По свойству биссектрисы, мы знаем, что:

AB / BC = AM / MC

Подставим известные значения:

a / b = (5/3)x / x = 5/3

Теперь мы можем выразить a через b:

a = (5/3)b

Подставим это выражение в уравнение для периметра:

(5/3)b + b = 24

Приведем подобные:

(5/3)b + (3/3)b = (8/3)b = 24

Теперь умножим обе стороны на 3:

8b = 72

Разделим обе стороны на 8:

b = 9

Теперь подставим значение b в выражение для a:

a = (5/3) * 9 = 15

Таким образом, мы нашли длины сторон параллелограмма:

• AB = a = 15 см
• BC = b = 9 см

Итак, длины сторон параллелограмма ABCD составляют 15 см и 9 см.