В равнобедренной трапеции ABCD угол ABC равен 135 градусов, и сторона BC меньше стороны AD. Отрезки BF и CH являются высотами трапеции. Длина диагонали квадрата FBCH составляет 6 корней из 2 см. Какова площадь трапеции, основанием которой являются средняя линия и меньшее основание трапеции ABCD?

Геометрия 9 класс Площадь трапеции равнобедренная трапеция угол ABC 135 градусов стороны BC и AD высоты трапеции отрезки BF и CH длина диагонали квадрат FBCH площадь трапеции средняя линия меньшее основание геометрия 9 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы найти площадь трапеции ABCD, основываясь на предоставленных данных.

1. Мы знаем, что в равнобедренной трапеции ABCD угол ABC равен 135 градусов и сторона BC меньше стороны AD. Отрезки BF и CH являются высотами трапеции. Также нам дано, что длина диагонали квадрата FBCH составляет 6 корней из 2 см.

2. Поскольку FBCH - это квадрат, все его стороны равны. Обозначим длину стороны квадрата как x. Таким образом, мы имеем: FC = x, где x = 6 корней из 2. Мы можем найти длину высоты CH (или FH), которая также равна x.

3. Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике FCH (где FH и CH - высоты), мы можем записать уравнение:

• FH^2 + CH^2 = FC^2
• 2x^2 = (6 корней из 2)^2
• 2x^2 = 72
• x^2 = 36
• x = 6.

4. Теперь у нас есть высота CH = 6 см. Учитывая, что угол ABC равен 135 градусов, мы можем определить угол HCD, который будет равен 45 градусов, так как в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

5. Треугольник CHD является равнобедренным, поскольку CH = DH. Аналогично, треугольник ABF также равнобедренный. Это позволяет нам сделать вывод, что отрезки, проведенные от точек H и B к средней линии трапеции, также равны.

6. Теперь проведем среднюю линию KN трапеции ABCD. Отрезки ON и KQ являются средними линиями треугольников CHD и ABF соответственно. Поскольку мы нашли, что CH = 6 см, то:

• ON = KQ = 3 см.

7. Теперь мы можем найти длину средней линии KN. Она складывается из отрезков KQ, QO и ON:

• KN = KQ + QO + ON = 3 + 3 + 6 = 12 см.

8. Теперь определим длину основания AD. Мы знаем, что AD = AL = 6 + 6 + 6 = 18 см.

9. Теперь мы можем найти длину меньшего основания BC, используя формулу:

• BC = 2 * KN - AD = 2 * 12 - 18 = 6 см.

10. Теперь, когда у нас есть оба основания трапеции: AD = 18 см и BC = 6 см, а высота (CH) равна 6 см, мы можем найти площадь трапеции по формуле:

• Площадь трапеции = (основание 1 + основание 2) * высота / 2.

Подставим значения:

• Площадь = (18 + 6) * 6 / 2 = 24 * 6 / 2 = 72 см².

Таким образом, площадь трапеции ABCD составляет 72 см².