В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB= 6, BC=CD= 10, AD= 16, AC= 14.

а) Докажи, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Вычисли BD⋅AC.

а) Некоторые этапы доказательства (сделай рисунок в тетради, сохранив обозначения точек).

∠ABC+∠ADC= ...° + ...° = ...°

б)

1. 156
2. 380
3. 256
4. 220

Геометрия 9 класс Окружность и вписанные фигуры выпуклый четырёхугольник стороны и диагонали доказательство окружности вычисление BD угол ABC угол ADC геометрия четырехугольника свойства четырёхугольников задачи по геометрии Новый

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, в котором известны следующие стороны и диагональ: AB = 6, BC = 10, CD = 10, AD = 16, AC = 14. Нам необходимо доказать, что вокруг этого четырехугольника можно описать окружность, а также вычислить произведение BD и AC.

а) Доказательство возможности описания окружности.

Для того чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных углов была равна 180°. То есть, необходимо показать, что:

• ∠ABC + ∠ADC = 180°
• ∠ABD + ∠CDB = 180°

Сначала найдем длину диагонали BD. Для этого воспользуемся теоремой о соотношении сторон и диагоналей в четырехугольнике, который можно описать окружностью:

Согласно этой теореме, выполняется равенство:

AB * CD + AD * BC = AC * BD.

Подставим известные значения:

6 * 10 + 16 * 10 = 14 * BD.

60 + 160 = 14 * BD.

220 = 14 * BD.

Теперь найдем BD:

BD = 220 / 14 = 15.71 (приблизительно).

Теперь можем найти углы. Используем закон косинусов для треугольников ABC и ADC:

Для треугольника ABC:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC).

14² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cos(∠ABC).

196 = 36 + 100 - 120 * cos(∠ABC).

196 = 136 - 120 * cos(∠ABC).

60 = -120 * cos(∠ABC).

cos(∠ABC) = -60 / 120 = -0.5.

∠ABC = 120°.

Теперь найдем угол ∠ADC:

Для треугольника ADC:

AC² = AD² + CD² - 2 * AD * CD * cos(∠ADC).

14² = 16² + 10² - 2 * 16 * 10 * cos(∠ADC).

196 = 256 + 100 - 320 * cos(∠ADC).

196 = 356 - 320 * cos(∠ADC).

-160 = -320 * cos(∠ADC).

cos(∠ADC) = 1/2.

∠ADC = 60°.

Теперь суммируем углы:

∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.

Таким образом, мы доказали, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

б) Вычисление произведения BD и AC.

Теперь мы можем вычислить произведение BD и AC:

BD * AC = 15.71 * 14 = 220 (приблизительно).

Таким образом, ответ на вопрос о произведении BD и AC:

• 220

В итоге, мы доказали, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность и нашли произведение BD и AC, равное 220.