Верно ли, что 2r = a + b – c? (где r — радиус вписанной окружности, a и b — катеты, а c — гипотенуза) (с доказательством).

Геометрия 9 класс Вписанная окружность в прямоугольный треугольник.

Для доказательства утверждения «2r = a + b – c» необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и формулы для вычисления радиуса вписанной окружности.

1. Радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник:

r = S / p = 2S / P, где:
р — полупериметр;
P — периметр.

2. Площадь прямоугольного треугольника:

S = ab / 2 (половина произведения катетов).

3. Подставим в формулу для радиуса:

r = ab / P.

4. Сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a² + b² - c² = 0:

ab = a² + b² - c².

5. Преобразуем выражение:

ab + ab = (a + b)² - c²,
(ab + ab) + ab = (a + b)²,
2ab + ab = (a + b)².

6. Вынесем общий множитель за скобки:

ab(1 + 2) = (a + b)(a + b),
3ab = (a + b)².

7. Разложим на множители:

9ab = (a + b - c)(a + b + c),
ab = (a + b - c)(a + b + c) / 2.

8. Подставим полученное выражение в формулу радиуса:

r = (a + b - c)(a + b + c) / (2P),
r 2P = (a + b - c)(a + b + c).

9. Упростим выражение:

2Pr = (a + b - c)(a + b + c),
2r = (a + b - c).

Таким образом, мы доказали, что 2r = a + b – c.

Привет! Давай разбираться.

Есть такое утверждение: 2r = a + b – c, где r — радиус вписанной окружности, a и b — катеты, а c — гипотенуза. Попробуем доказать его.

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. В прямоугольном треугольнике есть гипотенуза (самая длинная сторона) и два катета (стороны, образующие прямой угол).

Теперь перейдём к радиусу вписанной окружности. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника.

Чтобы доказать наше утверждение, нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и формулы для вычисления радиуса вписанной окружности.

Давай попробуем.

1. Радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник:
r = S / p = 2S / P, где:
р — полупериметр;
P — периметр.

2. Площадь прямоугольного треугольника:
S = ab / 2 (половина произведения катетов).

3. Подставим в формулу для радиуса:
r = ab / P.

4. Сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a² + b² - c² = 0:
ab = a² + b² - c².

5. Преобразуем выражение:
ab + ab = (a + b)² - c²,
(ab + ab) + ab = (a + b)²,
2ab + ab = (a + b)².

6. Вынесем общий множитель за скобки:
ab(1 + 2) = (a + b)(a + b),
3ab = (a + b)².

7. Разложим на множители:
9ab = (a + b - c)(a + b + c),
ab = (a + b - c)(a + b + c) / 2.

8. Подставим полученное выражение в формулу радиуса:
r = (a + b - c)(a + b + c) / (2P),
r 2P = (a + b - c)(a + b + c).

9. Упростим выражение:
2Pr = (a + b - c)(a + b + c),
2r = (a + b - c).

Таким образом, мы доказали, что 2r = a + b – c.

Надеюсь, теперь всё понятно!