2024-09-19 18:53:53
Верно ли, что 2r = a + b – c? (где r — радиус вписанной окружности, a и b — катеты, а c — гипотенуза) (с доказательством).
Геометрия 9 класс Вписанная окружность в прямоугольный треугольник.
2024-09-19 18:54:09
1. **Радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник:**
* r = S / p = 2S / P, где:
* р — полупериметр;
* P — периметр.
2. **Площадь прямоугольного треугольника:**
* S = ab / 2 (половина произведения катетов).
3. **Подставим в формулу для радиуса:**
* r = ab / P.
4. **Сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a² + b² - c² = 0:**
* ab = a² + b² - c².
5. **Преобразуем выражение:**
* ab + ab = (a + b)² - c²,
* (ab + ab) + ab = (a + b)²,
* 2ab + ab = (a + b)².
6. **Вынесем общий множитель за скобки:**
* ab(1 + 2) = (a + b)(a + b),
* 3ab = (a + b)².
7. **Разложим на множители:**
* 9ab = (a + b - c)(a + b + c),
* ab = (a + b - c)(a + b + c) / 2.
8. **Подставим полученное выражение в формулу радиуса:**
* r = (a + b - c)(a + b + c) / (2P),
* r * 2P = (a + b - c)(a + b + c).
9. **Упростим выражение:**
* 2Pr = (a + b - c)(a + b + c),
* 2r = (a + b - c).
Таким образом, мы доказали, что 2r = a + b – c.
2024-09-19 19:08:50
Есть такое утверждение: 2r = a + b – c, где r — радиус вписанной окружности, a и b — катеты, а c — гипотенуза. Попробуем доказать его.
Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. В прямоугольном треугольнике есть гипотенуза (самая длинная сторона) и два катета (стороны, образующие прямой угол).
Теперь перейдём к радиусу вписанной окружности. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника.
Чтобы доказать наше утверждение, нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и формулы для вычисления радиуса вписанной окружности.
Давай попробуем.
1. **Радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник:**
* r = S / p = 2S / P, где:
* р — полупериметр;
* P — периметр.
2. **Площадь прямоугольного треугольника:**
* S = ab / 2 (половина произведения катетов).
3. **Подставим в формулу для радиуса:**
* r = ab / P.
4. **Сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a² + b² - c² = 0:**
* ab = a² + b² - c².
5. **Преобразуем выражение:**
* ab + ab = (a + b)² - c²,
* (ab + ab) + ab = (a + b)²,
* 2ab + ab = (a + b)².
6. **Вынесем общий множитель за скобки:**
* ab(1 + 2) = (a + b)(a + b),
* 3ab = (a + b)².
7. **Разложим на множители:**
* 9ab = (a + b - c)(a + b + c),
* ab = (a + b - c)(a + b + c) / 2.
8. **Подставим полученное выражение в формулу радиуса:**
* r = (a + b - c)(a + b + c) / (2P),
* r * 2P = (a + b - c)(a + b + c).
9. **Упростим выражение:**
* 2Pr = (a + b - c)(a + b + c),
* 2r = (a + b - c).
Таким образом, мы доказали, что 2r = a + b – c.
Надеюсь, теперь всё понятно!
