Вписанная окружность в прямоугольный треугольник Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Вписать окружность можно только в такой треугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны. Такой треугольник называется описанным около окружности. Прямоугольный треугольник также может быть описан около окружности, при этом центр окружности должен находиться на середине гипотенузы. Свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник: Центр окружности расположен на гипотенузе. Радиус окружности равен половине гипотенузы, так как радиус — это расстояние от центра до любой из сторон треугольника. Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то можно найти радиус вписанной окружности по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов, разделённому на два радиуса вписанной окружности: $S = \frac{ac}{2r}$. Как вписать окружность в прямоугольный треугольник? 1. Найти центр окружности. Для этого необходимо провести биссектрисы двух углов треугольника. Точка пересечения биссектрис будет являться центром окружности. 2. Построить окружность. Радиусом окружности будет расстояние от её центра до любой стороны треугольника. 3. Проверить правильность построения. Окружность должна касаться всех трёх сторон треугольника. Если это условие выполнено, значит, построение выполнено верно. 4. Записать ответ. Ответ включает в себя описание построенной окружности (радиус, координаты центра) и доказательство того, что она вписана в данный треугольник. Для лучшего понимания темы рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 5 см и BC = 12 см. Требуется найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Решение: 1. Найдём гипотенузу AC по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(5)^2 + (12)^2} = 13$. 2. Вычислим полупериметр треугольника: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{(5 + 12 + 13)}{2} = 10,5$. 3. Подставим значения в формулу для нахождения радиуса: $r = \frac{p - AB}{2} = \frac{10,5 - 5}{2} = 2,5$. Ответ: радиус окружности равен 2,5 см. Пример 2. Дан прямоугольный треугольник ABC, в который вписана окружность с радиусом r = 3 см. Катеты AB и BC соответственно равны 8 см и 6 см. Необходимо найти длину гипотенузы AC. Решение: 1. Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника: $S_{ABC} = \frac{AC BC}{2}$. 2. Так как треугольник описан около окружности с известным радиусом, площадь можно выразить через произведение катетов и удвоенный радиус: $\frac{8 6}{2 3} = 9$. 3. Из формулы площади найдём длину гипотенузы: $AC = 2S : BC = 2 9 : 6 = 3$. Ответ: длина гипотенузы равна 3 см. Таким образом, вписанная в прямоугольный треугольник окружность обладает рядом свойств и характеристик, которые позволяют решать задачи на нахождение радиуса, длины сторон и других параметров треугольника.