Вопрос: Точки М и N находятся на стороне АС треугольника АВС на расстояниях 8 и 30 от вершины А. Каков радиус окружности, которая проходит через точки М и N и касается луча АВ, если cos(BAC) равен √15/4?

Геометрия 9 класс Окружности и касательные геометрия 9 класс треугольник точки М и N расстояние от вершины радиус окружности касается луча cos(BAC) √15/4 задача по геометрии свойства окружности треугольник ABC углы в треугольнике решение задачи математическая геометрия Новый

Давайте разберем задачу по шагам. У нас есть треугольник АВС, а также точки М и N на стороне АС, которые расположены на расстояниях 8 и 30 от вершины А соответственно. Наша цель — найти радиус окружности, которая проходит через точки М и N и касается луча АВ.

Первым делом обозначим некоторые важные точки:

• Точка касания окружности с лучом АВ обозначим как К.
• Точка пересечения перпендикуляра, проведенного из центра окружности, с отрезком АС обозначим как Р.
• Точка пересечения перпендикуляра с лучом АВ будет обозначена как Е.

Центр окружности О будет находиться на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN.

Теперь найдем длину отрезка АР. Это расстояние равно:

• Расстояние от А до М: 8
• Расстояние от А до N: 30

Сначала найдем среднее значение расстояний от А до М и от А до N:

АР = 8 + (30 - 8) / 2 = 8 + 11 = 19.

Далее, воспользуемся теоремой касательной и секущей, чтобы найти длину отрезка касательной АК:

АК = √(8 * 30) = √240 ≈ 15.49.

Теперь определим отрезок касательной КЕ, который равен разности между АЕ и АК. Мы знаем, что:

АЕ = расстояние АР = 19, поэтому:

КЕ = 19 / cos(A) - 15.49.

Согласно условию, cos(BAC) = √15/4, что примерно равно 0.968246. Подставим это значение:

КЕ = 19 / 0.968246 - 15.49 ≈ 19.62 - 15.49 ≈ 4.13.

Теперь, чтобы найти радиус окружности R, нам нужно разделить отрезок КЕ на тангенс угла КОЕ, который равен углу A:

Для нахождения tg KOE используем формулу:

tg KOE = sin(A) / cos(A).

Сначала найдем sin(A), используя соотношение:

sin(A) = √(1 - cos²(A)) = √(1 - (15/16)) = 1/4.

Теперь можно вычислить tg KOE:

tg KOE = (1/4) / (√15/4) = 1/√15 ≈ 0.258199.

Наконец, радиус окружности R можно найти по формуле:

R = KЕ / tg KOE ≈ 4.13 / 0.258199 ≈ 16.

Таким образом, радиус искомой окружности равен 16.