Даны точки a(1;−2;1), m(2;5;3) и т(4,3,-1). Необходимо доказать, что эти точки инсендентны одной прямой, и найти координаты точки, для которой (ab.mn)=3.

Геометрия Колледж Прямые и плоскости в пространстве геометрия 12 класс точки a m t инсендентные точки координаты точки доказать инсендентность прямая в пространстве Новый

Чтобы доказать, что точки A(1; -2; 1), M(2; 5; 3) и T(4; 3; -1) инсендентны одной прямой, нам нужно проверить, лежат ли они на одной прямой. Для этого мы можем использовать векторы.

1. Сначала найдем векторы AM и AT:

• Вектор AM = M - A = (2 - 1; 5 - (-2); 3 - 1) = (1; 7; 2)
• Вектор AT = T - A = (4 - 1; 3 - (-2); -1 - 1) = (3; 5; -2)

2. Теперь мы проверим, коллинеарны ли эти два вектора. Для этого найдем коэффициенты пропорциональности:

• Проверяем отношение: AM и AT должны быть пропорциональны, то есть:
• AM = k * AT, где k - скаляр.

3. Установим систему уравнений:

• 1 = k * 3
• 7 = k * 5
• 2 = k * (-2)

4. Найдем k из первого уравнения:

• k = 1/3

5. Подставим k в второе уравнение:

• 7 = (1/3) * 5
• 7 ≠ 5/3, значит, k не подходит.

6. Проверим третье уравнение:

• 2 = (1/3) * (-2)
• 2 ≠ -2/3, значит, k не подходит.

Таким образом, векторы AM и AT не коллинеарны, что означает, что точки A, M и T не лежат на одной прямой. Мы можем сделать вывод, что они не инсендентны одной прямой.

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нужно найти координаты точки B, для которой (AB . MN) = 3.

1. Сначала найдем вектор MN:

• Вектор MN = N - M = (x - 2; y - 5; z - 3)

2. Вектор AB будет равен B - A = (x - 1; y + 2; z - 1).

3. Теперь мы можем записать скалярное произведение:

• (AB . MN) = (x - 1)(x - 2) + (y + 2)(y - 5) + (z - 1)(z - 3) = 3.

4. Раскроем скобки и упростим уравнение:

• (x^2 - 2x - x + 1) + (y^2 - 5y + 2y - 10) + (z^2 - 3z - z + 3) = 3.

5. Упростим:

• x^2 - 3x + y^2 - 3y + z^2 - 4z - 16 = 0.

6. Это уравнение задает поверхность, на которой будут находиться все точки B, удовлетворяющие условию (AB . MN) = 3.

Таким образом, мы доказали, что точки A, M и T не инсендентны одной прямой, и нашли уравнение для точки B, для которой (AB . MN) = 3.