В треугольнике АВС угол С прямой, а угол А=30 градусов. Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярная плоскости треугольника. Даны следующие размеры: АС=18 см, СМ=12 см. Как найти расстояние от точки М до прямой АВ и расстояние от точки В до плоскости АСМ?

Геометрия Колледж Прямые и плоскости в пространстве треугольник АВС угол С прямой угол А 30 градусов прямая СМ перпендикулярная плоскости расстояние от точки М расстояние от точки В плоскость АСМ геометрия задачи по геометрии Новый

Давайте разберем решение задачи шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем длины сторон AB и BC в треугольнике ABC.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Известно, что угол A равен 30 градусам и сторона AC равна 18 см. Поскольку угол A равен 30 градусам, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения сторон AB и BC.

• Косинус угла A: cos(30°) = AC / AB.
• Синус угла A: sin(30°) = BC / AB.

Значения тригонометрических функций для угла 30 градусов: cos(30°) = √3/2 и sin(30°) = 1/2.

Выразим AB через AC:

• AC = AB * cos(30°).
• 18 = AB * √3/2.
• AB = 18 / (√3/2) = 36/√3 = 12√3 см.

Теперь найдем BC:

• BC = AB * sin(30°).
• BC = 12√3 * 1/2 = 6√3 см.

Шаг 2: Найдем расстояние от точки M до прямой AB.

Точка M находится на высоте CM, которая перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Расстояние от точки M до прямой AB можно найти как проекцию высоты CM на прямую AB.

Поскольку угол между CM и плоскостью треугольника равен углу A (30 градусов), то:

• Расстояние от M до AB = CM * sin(30°).
• Расстояние = 12 * 1/2 = 6 см.

Шаг 3: Найдем расстояние от точки B до плоскости ACM.

Расстояние от точки B до плоскости ACM можно найти, используя проекцию стороны BC на направление, перпендикулярное линии CM (так как CM перпендикулярно плоскости треугольника).

Поскольку угол между BC и плоскостью ACM равен 60 градусов (так как угол между линией BC и линией CM равен 90 - 30 = 60 градусов), то:

• Расстояние от B до плоскости ACM = BC * cos(30°).
• Расстояние = 6√3 * √3/2 = 9 см.

Ответ:

• Расстояние от точки M до прямой AB = 6 см.
• Расстояние от точки B до плоскости ACM = 9 см.