Как можно найти объем конуса, если известна площадь его боковой поверхности, равная 36π, и образующая, которая в три раза больше радиуса основания?

Варианты ответа:

• А) 49√6π
• Б) 18√6π
• С) 96√6π
• Д) 48√6π
• Е) 16√6π

Геометрия Колледж Объём конуса объем конуса площадь боковой поверхности радиус основания образующая конуса геометрия 12 класс Новый

Для нахождения объема конуса, когда известна площадь боковой поверхности и образующая, нужно следовать определенным шагам. Давайте разберем это подробно.

Шаг 1: Понимание формул

• Площадь боковой поверхности конуса (S) рассчитывается по формуле: S = π * r * l, где r - радиус основания, а l - образующая.
• Объем конуса (V) рассчитывается по формуле: V = (1/3) * π * r² * h, где h - высота конуса.

Шаг 2: Условия задачи

• Дано: S = 36π.
• Образующая l в три раза больше радиуса основания: l = 3r.

Шаг 3: Подстановка значений в формулу площади боковой поверхности

Подставим l в формулу для S:

S = π * r * l = π * r * (3r) = 3π * r².

Теперь приравняем это к известной площади:

3π * r² = 36π.

Шаг 4: Упрощение уравнения

Делим обе стороны уравнения на π:

3r² = 36.

Теперь делим обе стороны на 3:

r² = 12.

Следовательно, r = √12 = 2√3.

Шаг 5: Нахождение образующей

Теперь мы можем найти l:

l = 3r = 3 * 2√3 = 6√3.

Шаг 6: Нахождение высоты конуса

Для нахождения высоты h, используем теорему Пифагора:

h² + r² = l².

Подставим известные значения:

h² + (2√3)² = (6√3)².

h² + 12 = 108.

h² = 108 - 12 = 96.

Следовательно, h = √96 = 4√6.

Шаг 7: Нахождение объема конуса

Теперь мы можем найти объем V:

V = (1/3) * π * r² * h.

Подставим найденные значения:

V = (1/3) * π * (2√3)² * (4√6).

V = (1/3) * π * 12 * 4√6.

V = (1/3) * 48π√6.

V = 16π√6.

Ответ: 16√6π.

Таким образом, правильный вариант ответа - Е) 16√6π.