Для решения данной задачи мы будем использовать метод перебора всех возможных программ, которые могут быть составлены с помощью команд "Прибавить 1" и "Прибавить 3". Нам нужно учитывать несколько условий:

• Начальное число - 2.
• Конечное число - 20.
• Проходить через число 15.
• Избегать числа 10.

Мы можем разбить задачу на два этапа:

1. Сначала перейдем от 2 до 15.
2. Затем от 15 до 20.

Теперь рассмотрим первый этап - переход от 2 до 15.

Для перехода от 2 до 15 нам нужно прибавить 13. Мы можем использовать команды "Прибавить 1" и "Прибавить 3". Давайте обозначим количество операций "Прибавить 1" как x, а количество операций "Прибавить 3" как y. Тогда у нас есть уравнение:

Также мы знаем, что общее количество операций (x + y) должно быть не таким, чтобы мы проходили через 10. Давайте рассмотрим возможные комбинации:

• Если y = 0, то x = 13 (путь: 2, 3, 4, ..., 15 - 13 операций "Прибавить 1").
• Если y = 1, то x = 10 (путь: 2, 3, 4, ..., 12, 15 - 10 операций "Прибавить 1" и 1 операция "Прибавить 3").
• Если y = 2, то x = 7 (путь: 2, 3, 4, ..., 9, 12, 15 - 7 операций "Прибавить 1" и 2 операции "Прибавить 3").
• Если y = 3, то x = 4 (путь: 2, 3, 4, ..., 6, 9, 12, 15 - 4 операций "Прибавить 1" и 3 операции "Прибавить 3").
• Если y = 4, то x = 1 (путь: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15 - 1 операция "Прибавить 1" и 4 операции "Прибавить 3").

Теперь давайте посчитаем количество возможных программ для каждого случая:

• y = 0: 13 операций "Прибавить 1" - 1 способ.
• y = 1: 10 операций "Прибавить 1" и 1 операция "Прибавить 3" - C(11, 1) = 11 способов.
• y = 2: 7 операций "Прибавить 1" и 2 операции "Прибавить 3" - C(9, 2) = 36 способов.
• y = 3: 4 операции "Прибавить 1" и 3 операции "Прибавить 3" - C(7, 3) = 35 способов.
• y = 4: 1 операция "Прибавить 1" и 4 операции "Прибавить 3" - C(5, 4) = 5 способов.

Теперь мы можем сложить все способы:

1 + 11 + 36 + 35 + 5 = 88 способов.

Теперь перейдем ко второму этапу - переход от 15 до 20.

Для перехода от 15 до 20 нам нужно прибавить 5. Мы можем использовать аналогичный подход:

Здесь x - количество операций "Прибавить 1", а y - количество операций "Прибавить 3". Рассмотрим возможные комбинации:

• Если y = 0, то x = 5 - 1 способ.
• Если y = 1, то x = 2 - C(3, 1) = 3 способа.
• Если y = 2, то x = -1 - невозможно.

Таким образом, для перехода от 15 до 20 у нас всего 4 способа.

Теперь мы можем умножить количество способов на первом этапе на количество способов на втором этапе:

Итак, общее количество программ, которые можно составить, чтобы начиная с числа 2 получить число 20, проходя через 15 и избегая 10, равно 352.