Какова сумма 7 первых членов геометрической прогрессии (в), если b_{3} = 8 и b_{6} = -64?
Помогите, пожалуйста, дам 50 баллов!
Математика 1 класс Геометрическая прогрессия сумма первых членов Геометрическая прогрессия b3 = 8 b6 = -64 математика 11 класс Новый
Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, нам сначала нужно определить первый член прогрессии и общее отношение.
Дано:
Геометрическая прогрессия определяется формулой:
bn = a * r^(n-1),
где:
Запишем уравнения для b3 и b6:
Теперь у нас есть система уравнений:
Теперь выразим a из первого уравнения:
a = 8 / r^2.
Подставим это выражение для a во второе уравнение:
(8 / r^2) * r^5 = -64.
Упростим это уравнение:
8 * r^(5-2) = -64,
8 * r^3 = -64.
Теперь разделим обе стороны на 8:
r^3 = -8.
Извлечем кубический корень:
r = -2.
Теперь подставим значение r обратно в первое уравнение, чтобы найти a:
a * (-2)^2 = 8,
a * 4 = 8.
Теперь поделим обе стороны на 4:
a = 2.
Теперь у нас есть первый член a = 2 и общее отношение r = -2.
Теперь можем найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии. Сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r), при r ≠ 1.
В нашем случае n = 7, a = 2 и r = -2:
S7 = 2 * (1 - (-2)^7) / (1 - (-2)).
Теперь вычислим (-2)^7:
(-2)^7 = -128.
Подставим это значение в формулу:
S7 = 2 * (1 - (-128)) / (1 + 2),
S7 = 2 * (1 + 128) / 3.
S7 = 2 * 129 / 3.
S7 = 258 / 3.
S7 = 86.
Таким образом, сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна 86.