Какова сумма 7 первых членов геометрической прогрессии (в), если b_{3} = 8 и b_{6} = -64?

Помогите, пожалуйста, дам 50 баллов!

Математика 1 класс Геометрическая прогрессия сумма первых членов Геометрическая прогрессия b3 = 8 b6 = -64 математика 11 класс Новый

Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, нам сначала нужно определить первый член прогрессии и общее отношение.

Дано:

• b₃ = 8
• b₆ = -64

Геометрическая прогрессия определяется формулой:

b_n = a * r^(n-1),

где:

• a - первый член прогрессии,
• r - общее отношение,
• n - номер члена прогрессии.

Запишем уравнения для b₃ и b₆:

• Для b₃: a * r^(3-1) = a * r^2 = 8
• Для b₆: a * r^(6-1) = a * r^5 = -64

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a * r^2 = 8 (1)
2. a * r^5 = -64 (2)

Теперь выразим a из первого уравнения:

a = 8 / r^2.

Подставим это выражение для a во второе уравнение:

(8 / r^2) * r^5 = -64.

Упростим это уравнение:

8 * r^(5-2) = -64,

8 * r^3 = -64.

Теперь разделим обе стороны на 8:

r^3 = -8.

Извлечем кубический корень:

r = -2.

Теперь подставим значение r обратно в первое уравнение, чтобы найти a:

a * (-2)^2 = 8,

a * 4 = 8.

Теперь поделим обе стороны на 4:

a = 2.

Теперь у нас есть первый член a = 2 и общее отношение r = -2.

Теперь можем найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии. Сумма S_n первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r), при r ≠ 1.

В нашем случае n = 7, a = 2 и r = -2:

S₇ = 2 * (1 - (-2)^7) / (1 - (-2)).

Теперь вычислим (-2)^7:

(-2)^7 = -128.

Подставим это значение в формулу:

S₇ = 2 * (1 - (-128)) / (1 + 2),

S₇ = 2 * (1 + 128) / 3.

S₇ = 2 * 129 / 3.

S₇ = 258 / 3.

S₇ = 86.

Таким образом, сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна 86.