Что такое экстремум в механике и можешь привести пример?

Математика 10 класс Экстремумы функций экстремум в механике примеры экстремума что такое экстремум Новый

Экстремум в механике — это значение функции, при котором происходит максимальное или минимальное изменение какой-либо величины. В общем смысле, экстремумы делятся на максимумы и минимумы:

• Максимум — это наибольшее значение функции на некотором интервале.
• Минимум — это наименьшее значение функции на этом же интервале.

Экстремумы имеют важное значение в механике, так как они помогают понять, при каких условиях система находится в равновесии или при каких значениях переменных достигаются оптимальные результаты.

Рассмотрим пример, связанный с движением тела:

1. Представим себе, что у нас есть тело, брошенное вверх. Его высота h (в метрах) в зависимости от времени t (в секундах) описывается функцией h(t) = -5t² + 20t + 10.
2. Чтобы найти экстремум этой функции, мы можем найти производную h'(t) и приравнять её к нулю. Это позволит нам определить моменты времени, когда высота максимальна или минимальна.
3. Находим производную: h'(t) = -10t + 20.
4. Приравниваем производную к нулю: -10t + 20 = 0. Решаем это уравнение: t = 2 секунды.
5. Теперь, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, мы можем найти вторую производную h''(t) = -10. Поскольку вторая производная отрицательна, это подтверждает, что в t = 2 секунды у нас есть максимум.
6. Теперь подставим t = 2 в функцию h(t), чтобы найти максимальную высоту: h(2) = -5(2)² + 20(2) + 10 = 30 метров.

Таким образом, экстремум в данном примере — это максимальная высота, которую достигнет тело, равная 30 метрам, достигаемая через 2 секунды после броска.