Похожие вопросы
2025-02-19 14:54:59
Как можно доказать для натуральных b и c следующие равенства:
- a^(b + c) = a^b * a^c
- a^(b – c) = (a^b) / (a^c)
- a^(bc) = ((a^b)^c)
Математика10 классСтепени и их свойствадоказательство равенствнатуральные числасвойства степенейматематика 10 классалгебраэкспонентыоперации со степенями
2025-02-19 14:56:50
Давайте разберем каждое из предложенных равенств и докажем их, используя свойства степеней.
1. Доказательство равенства a^(b + c) = a^b * a^cЭто равенство говорит о том, что если мы возводим число a в степень, которая является суммой двух натуральных чисел b и c, то это равно произведению a, возведенного в степень b, и a, возведенного в степень c.
Доказательство:
- По определению степени, a^b означает, что a умножается на себя b раз.
- Аналогично, a^c означает, что a умножается на себя c раз.
- Теперь, если мы возводим a в степень (b + c),это означает, что мы умножаем a на себя (b + c) раз.
- Мы можем представить это как:
- a^b = a * a * ... * a (b раз)
- a^c = a * a * ... * a (c раз)
- Таким образом, a^(b + c) = a * a * ... * a (b раз) * a * a * ... * a (c раз).
- Это и есть a^b * a^c.
Это равенство утверждает, что если мы возводим число a в степень, которая является разностью двух натуральных чисел b и c, то это равно частному a, возведенного в степень b, и a, возведенного в степень c.
Доказательство:
- По определению степени, a^b - это a, умноженное на себя b раз.
- a^c - это a, умноженное на себя c раз.
- Теперь, если мы возводим a в степень (b - c),это означает, что мы берем a, умноженное на себя b раз, и делим на a, умноженное на себя c раз.
- Таким образом, a^(b - c) = (a * a * ... * a (b раз)) / (a * a * ... * a (c раз)).
- При сокращении мы получаем a, умноженное на себя (b - c) раз, что и соответствует a^(b - c).
Это равенство утверждает, что если мы возводим a в степень, равную произведению двух натуральных чисел b и c, то это равно a, возведенному в степень b, а затем возведенному в степень c.
Доказательство:
- По определению степени, a^b - это a, умноженное на себя b раз.
- Теперь, если мы возводим a^b в степень c, то это означает, что мы берем (a * a * ... * a) (b раз) и умножаем его на себя c раз.
- Таким образом, ((a^b)^c) = (a * a * ... * a) (b раз) * (a * a * ... * a) (b раз) * ... (c раз).
- Это в итоге дает a, умноженное на себя (b * c) раз, что и соответствует a^(bc).
Таким образом, мы доказали все три равенства, используя свойства степеней.
