Как можно доказать для натуральных b и c следующие равенства:

1. a^(b + c) = a^b * a^c
2. a^(b – c) = (a^b) / (a^c)
3. a^(bc) = ((a^b)^c)

Математика 10 класс Степени и их свойства доказательство равенств натуральные числа свойства степеней математика 10 класс алгебра экспоненты операции со степенями Новый

Давайте разберем каждое из предложенных равенств и докажем их, используя свойства степеней.

1. Доказательство равенства a^(b + c) = a^b * a^c

Это равенство говорит о том, что если мы возводим число a в степень, которая является суммой двух натуральных чисел b и c, то это равно произведению a, возведенного в степень b, и a, возведенного в степень c.

Доказательство:

1. По определению степени, a^b означает, что a умножается на себя b раз.
2. Аналогично, a^c означает, что a умножается на себя c раз.
3. Теперь, если мы возводим a в степень (b + c), это означает, что мы умножаем a на себя (b + c) раз.
4. Мы можем представить это как:
• a^b = a * a * ... * a (b раз)
• a^c = a * a * ... * a (c раз)
5. Таким образом, a^(b + c) = a * a * ... * a (b раз) * a * a * ... * a (c раз).
6. Это и есть a^b * a^c.

2. Доказательство равенства a^(b – c) = (a^b) / (a^c)

Это равенство утверждает, что если мы возводим число a в степень, которая является разностью двух натуральных чисел b и c, то это равно частному a, возведенного в степень b, и a, возведенного в степень c.

Доказательство:

1. По определению степени, a^b - это a, умноженное на себя b раз.
2. a^c - это a, умноженное на себя c раз.
3. Теперь, если мы возводим a в степень (b - c), это означает, что мы берем a, умноженное на себя b раз, и делим на a, умноженное на себя c раз.
4. Таким образом, a^(b - c) = (a * a * ... * a (b раз)) / (a * a * ... * a (c раз)).
5. При сокращении мы получаем a, умноженное на себя (b - c) раз, что и соответствует a^(b - c).

3. Доказательство равенства a^(bc) = ((a^b)^c)

Это равенство утверждает, что если мы возводим a в степень, равную произведению двух натуральных чисел b и c, то это равно a, возведенному в степень b, а затем возведенному в степень c.

Доказательство:

1. По определению степени, a^b - это a, умноженное на себя b раз.
2. Теперь, если мы возводим a^b в степень c, то это означает, что мы берем (a * a * ... * a) (b раз) и умножаем его на себя c раз.
3. Таким образом, ((a^b)^c) = (a * a * ... * a) (b раз) * (a * a * ... * a) (b раз) * ... (c раз).
4. Это в итоге дает a, умноженное на себя (b * c) раз, что и соответствует a^(bc).

Таким образом, мы доказали все три равенства, используя свойства степеней.