Как найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, если известны координаты вершин A(-1:4), B(2;4), C(-1;2)?

Математика 10 класс Косинусы углов треугольника косинус угла треугольника координаты вершин треугольника треугольник ABC математика 10 класс нахождение угла треугольника Новый

Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, нам сначала нужно определить длины сторон этого треугольника. Для этого мы будем использовать координаты вершин A, B и C.

Координаты вершин:

• A(-1, 4)
• B(2, 4)
• C(-1, 2)

Теперь найдем длины сторон треугольника:

1. Длина стороны AB:
• AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²)
• AB = √((2 - (-1))² + (4 - 4)²) = √(3² + 0²) = 3
2. Длина стороны BC:
• BC = √((xC - xB)² + (yC - yB)²)
• BC = √((-1 - 2)² + (2 - 4)²) = √((-3)² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13
3. Длина стороны AC:
• AC = √((xC - xA)² + (yC - yA)²)
• AC = √((-1 - (-1))² + (2 - 4)²) = √(0² + (-2)²) = √4 = 2

Теперь у нас есть длины всех сторон:

• AB = 3
• BC = √13
• AC = 2

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинусов углов. Теорема косинусов выглядит так:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где c - длина стороны, противолежащей углу γ, а a и b - длины других сторон.

Начнем с нахождения косинуса угла A:

• cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc),
• где a = BC, b = AC, c = AB.

Подставляем значения:

• cos(A) = (AC² + AB² - BC²) / (2 * AC * AB)
• cos(A) = (2² + 3² - (√13)²) / (2 * 2 * 3)
• cos(A) = (4 + 9 - 13) / 12 = 0 / 12 = 0.

Теперь найдем косинус угла B:

• cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac),
• где a = AC, b = AB, c = BC.

Подставляем значения:

• cos(B) = (AC² + BC² - AB²) / (2 * AC * BC)
• cos(B) = (2² + (√13)² - 3²) / (2 * 2 * √13)
• cos(B) = (4 + 13 - 9) / (4√13) = 8 / (4√13) = 2 / √13.

Теперь найдем косинус угла C:

• cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab),
• где a = AB, b = BC, c = AC.

Подставляем значения:

• cos(C) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)
• cos(C) = (3² + (√13)² - 2²) / (2 * 3 * √13)
• cos(C) = (9 + 13 - 4) / (6√13) = 18 / (6√13) = 3 / √13.

Теперь у нас есть косинусы всех углов:

• cos(A) = 0
• cos(B) = 2 / √13
• cos(C) = 3 / √13

Наименьший угол будет соответствовать наибольшему значению косинуса. Сравнив значения, мы видим, что:

• cos(A) = 0 (угол A = 90 градусов),
• cos(B) = 2 / √13,
• cos(C) = 3 / √13.

Таким образом, наименьший угол в треугольнике ABC - это угол B или угол C, а косинус наименьшего угла равен:

• cos(B) = 2 / √13.

Ответ: косинус наименьшего угла треугольника ABC равен 2 / √13.