Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, нам сначала нужно определить длины сторон этого треугольника. Для этого мы будем использовать координаты вершин A, B и C.

Координаты вершин:

• A(-1, 4)
• B(2, 4)
• C(-1, 2)

Теперь найдем длины сторон треугольника:

1. Длина стороны AB:
• AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²)
• AB = √((2 - (-1))² + (4 - 4)²) = √(3² + 0²) = 3
2. Длина стороны BC:
• BC = √((xC - xB)² + (yC - yB)²)
• BC = √((-1 - 2)² + (2 - 4)²) = √((-3)² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13
3. Длина стороны AC:
• AC = √((xC - xA)² + (yC - yA)²)
• AC = √((-1 - (-1))² + (2 - 4)²) = √(0² + (-2)²) = √4 = 2

Теперь у нас есть длины всех сторон:

• AB = 3
• BC = √13
• AC = 2

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинусов углов. Теорема косинусов выглядит так:

c² = a² + b² - 2ab * cos(γ),

где c - длина стороны, противолежащей углу γ, а a и b - длины других сторон.

Начнем с нахождения косинуса угла A:

• cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc),
• где a = BC, b = AC, c = AB.

Подставляем значения:

• cos(A) = (AC² + AB² - BC²) / (2 * AC * AB)
• cos(A) = (2² + 3² - (√13)²) / (2 * 2 * 3)
• cos(A) = (4 + 9 - 13) / 12 = 0 / 12 = 0.

Теперь найдем косинус угла B:

• cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac),
• где a = AC, b = AB, c = BC.

Подставляем значения:

• cos(B) = (AC² + BC² - AB²) / (2 * AC * BC)
• cos(B) = (2² + (√13)² - 3²) / (2 * 2 * √13)
• cos(B) = (4 + 13 - 9) / (4√13) = 8 / (4√13) = 2 / √13.

Теперь найдем косинус угла C:

• cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab),
• где a = AB, b = BC, c = AC.

Подставляем значения:

• cos(C) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)
• cos(C) = (3² + (√13)² - 2²) / (2 * 3 * √13)
• cos(C) = (9 + 13 - 4) / (6√13) = 18 / (6√13) = 3 / √13.

Теперь у нас есть косинусы всех углов:

• cos(A) = 0
• cos(B) = 2 / √13
• cos(C) = 3 / √13

Наименьший угол будет соответствовать наибольшему значению косинуса. Сравнив значения, мы видим, что:

• cos(A) = 0 (угол A = 90 градусов),
• cos(B) = 2 / √13,
• cos(C) = 3 / √13.

Таким образом, наименьший угол в треугольнике ABC - это угол B или угол C, а косинус наименьшего угла равен:

• cos(B) = 2 / √13.

Ответ: косинус наименьшего угла треугольника ABC равен 2 / √13.